| English | 의미 |
|---|---|
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | 미분방정식 |
| integrating factor/ˈɪntɪɡreɪtɪŋ ˈfæktə/ | 적분인자 |
| general solution/ˈdʒenərəl səˈluːʃn/ | 일반해 |
| complementary function/ˌkɒmplɪˈmentəri ˈfʌŋkʃn/ | 보완함수 |
| auxiliary equation/ɔːkˈsɪlɪəri ɪˈkweɪʒn/ | 보조방정식 |
| boundary condition/ˈbaʊndəri kənˈdɪʃn/ | 경계조건 |
| initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/ | 초기조건 |
| particular integral/pəˈtɪkjʊlə ˈɪntɪɡrəl/ | 특이해 |
When the unknown is a function
- Ordinary equations solve for a number. A differential equation 微分方程 solves for a whole function — given a rule about its rate of change.
- They model cooling coffee, growing populations, charging capacitors, and swinging pendulums.
First-order linear: the integrating factor 积分因子
- For $\dfrac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)$, multiply through by the integrating factor:
- This makes the left side collapse to $\dfrac{d}{dx}(\mu y)$, so you can integrate both sides directly.
Worked example. $\dfrac{dy}{dx} + 2y = e^x$. Here $P = 2$, so $\mu = e^{\int 2\,dx} = e^{2x}$. The left side becomes $\dfrac{d}{dx}(e^{2x}y)$.
미분 방정식
dy/dx = a y
이 방정식은 모든 점에서 기울기를 정의하며, 해(solution) 은 이러한 기울기에 따라 결정됩니다.
dy/dx + 2y = eˣ에 대한 적분인자 μ = e^(∫2 dx)은:
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
∫2 dx = 2x이므로, μ = e^(2x)입니다.
적분 인자에 곱하면 좌변이 d/dx(μy)가 되므로, 직접 적분할 수 있습니다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
이것이 바로 적분 인자의 핵심입니다. 좌변을 완전 미분 형태로 만들어주기 때문입니다.
Second-order, constant coefficients
- For $a\dfrac{d^2y}{dx^2} + b\dfrac{dy}{dx} + cy = f(x)$, the general solution 通解 has two parts:
- The complementary function 余函数 (CF) comes from the auxiliary equation 辅助方程 $am^2 + bm + c = 0$.
상수계수 선형 방정식의 일반해는:
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
일반해 = 보완 함수(RHS = 0) + 특이적분입니다.
Reading the auxiliary roots
- The roots of the auxiliary equation decide the shape of the CF:
| roots | complementary function |
|---|---|
| real & distinct $m_1, m_2$ | $Ae^{m_1 x} + Be^{m_2 x}$ |
| repeated $m$ | $(A + Bx)e^{mx}$ |
| complex $p \pm qi$ | $e^{px}(A\cos qx + B\sin qx)$ |
A differential equation has a whole family of solution curves; the boundary conditions 边界条件 pick out one.
y″ − 5y′ + 6y = 0에 대한 보조 방정식은 m² − 5m + 6 = 0입니다. 이 방정식의 더 큰 근은?
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
m² − 5m + 6 = (m − 2)(m − 3) = 0이므로, m = 2 또는 3입니다. 더 큰 값은 3입니다.
각 보조 근의 유형에 대해 해당하는 종속함수를 매칭하십시오.
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
서로 다른 실수 두 개는 지수함수 두 개를 제공합니다; 중근은 x 인자를 추가하며, 복소근은 진동하며 지수적으로 스케일된 형태를 줍니다.
Boundary conditions
- The constants $A, B$ are fixed by boundary or initial conditions 初始条件 (e.g. $y(0) = 1$, $y'(0) = 0$).
- Without them you get the whole family; with them, the one curve that fits.
- Solve differential equations with a substitution or by separable variables, then apply initial conditions for the particular solution.
임의 상수 A와 B는 ______ 조건에 의해 결정됩니다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
경계 조건이나 초기 조건(y(0) = 1 등)이 A와 B를 결정합니다.
You've got it
- first-order linear: multiply by $\mu = e^{\int P\,dx}$, then integrate
- second-order: general = complementary function + particular integral 特积分
- the CF comes from the auxiliary equation; boundary conditions fix the constants