| English | 의미 |
|---|---|
| de Moivre's theorem/də ˈmɔɪvəz ˈθɪərəm/ | 드무아브르 정리 |
| polar form/ˈpəʊlə fɔːm/ | 극좌표 형식 |
| argument/ˈɑːɡjuːmənt/ | 각도 |
| modulus/ˈmɒdjʊləs/ | 절댓값 |
| imaginary part/ɪˈmædʒɪnəri pɑːt/ | 허수부 |
| roots of unity/ruːts ɒv ˈjuːnɪti/ | 단위근 |
| unit circle/ˈjuːnɪt ˈsɜːkl/ | 단위원 |
Raising to a power, the easy way
- To work out $(\cos\theta + i\sin\theta)^{10}$ the long way, you'd multiply ten times.
- De Moivre's theorem 棣莫弗定理 does it in one line — and as a bonus, it splits a circle into equal pieces.
De Moivre's theorem
- A complex number in polar form 极坐标形式: $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$.
- De Moivre's theorem — for any integer $n$:
- Raising to a power multiplies the argument 辐角 by $n$ (and the modulus 模 by $r^n$).
복소수
z = x + yi
z를 점으로 그리세요: O로부터의 거리는 절댓값(modulus), 각도는 ** Argument**입니다.
드 무아브르 정리에 따르면 (cos θ + i sin θ)ⁿ은 다음과 같습니다:
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지수 n을 취하면 Argument이 n배가 됩니다: cos nθ + i sin nθ.
Expanding multiple angles
- Comparing real and imaginary parts 虚部 of $(\cos\theta + i\sin\theta)^n$ gives identities.
- Worked example: the real part of the cube gives $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$.
드 무아브르를 사용하여 cos 3θ를 전개하면:
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(cosθ + i sinθ)³의 실수를 취하면: cos 3θ = 4cos³θ − 3cosθ입니다.
The roots of unity 单位根
- The equation $z^n = 1$ has exactly $n$ solutions — the $n$th roots of unity.
- They lie on the unit circle 单位圆, equally spaced $\dfrac{360^\circ}{n}$ apart, starting at $1$.
The five solutions of $z^5 = 1$ sit on the unit circle, $72^\circ$ apart — a perfect pentagon.
Why equally spaced? Each root has modulus $1$ and arguments $\dfrac{360^\circ k}{n}$ for $k = 0, 1, \dots, n-1$ — so consecutive roots differ by the same angle.
방정식 z⁵ = 1의 서로 다른 근은 몇 개인가요?
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zⁿ = 1은 단위원 위에 정확히 n개의 근을 가지며, 여기서는 n = 5입니다.
단위원의 근들은 원주 위에 균등하게 분포합니다. 인접한 근 사이의 각도는 몇 도입니까?
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360°/5 = 72°입니다.
n차 단위근들은 단위원 주변에 균등하게 분포되어 있습니다.
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그들은 원주 위에 360°/n의 등각 간격으로 위치합니다.
Common slip
De Moivre needs polar form first. $(1 + i)^8$ is not $1^8 + i^8$ — convert $1+i$ to $r(\cos\theta+i\sin\theta)$ with $r = \sqrt2$, $\theta = 45^\circ$, then apply the theorem.
- Summing a series of $\cos$/$\sin$ terms uses the complex sum $C + \mathrm{i}S$ of complex numbers.
(1 + i)⁸에 드 무아브르를 적용하기 전에, 먼저 1 + i를 ______ 형태로 써야 합니다.
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먼저 r(cosθ + i sinθ)로 변환한 뒤 지수를 취하세요.
You've got it
- de Moivre: $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$
- it expands multiple angles, e.g. $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$
- the $n$ roots of unity are equally spaced $\dfrac{360^\circ}{n}$ apart on the unit circle