| English | 의미 |
|---|---|
| polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | 다항식 |
| Maclaurin series/məˈklɔːrɪn ˈsɪəriːz/ | 맥클로린 급수 |
| differentiation/ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | 미분법 |
| hyperbolic/ˌhaɪpəˈbɒlɪk/ | 쌍곡선 함수 |
| coefficient/ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | 계수 |
| interval of convergence/ˈɪntəvl ɒv kənˈvɜːdʒəns/ | 수렴 구간 |
| diverge/daɪˈvɜːdʒ/ | 발산 |
How does a calculator find eˣ?
- Your calculator can't "do" $e^{0.7}$ directly — there's no button-press that knows it.
- Instead it adds up a few terms of a polynomial 多项式 that mimics $e^x$ near zero.
- That polynomial is a Maclaurin series 麦克劳林级数 — and building one starts with repeated differentiation 微分.
New derivatives to know
- Further Pure 2 adds derivatives of the hyperbolic 双曲 and inverse functions:
| function | derivative |
|---|---|
| $\sinh x$ | $\cosh x$ |
| $\cosh x$ | $\sinh x$ |
| $\sin^{-1}x$ | $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ |
| $\tan^{-1}x$ | $\dfrac{1}{1+x^2}$ |
- You can also find $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ for implicit and parametric curves.
Each extra Maclaurin term hugs e^x over a wider range
한 점에서의 기울기
기울기 = dy/dx
미분은 접선의 기울기입니다. 함수가 아무리 이질적이라 해도 마찬가지입니다.
sinh x의 미분은:
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
d/dx(sinh x) = cosh x (그리고 d/dx(cosh x) = sinh x).
tan⁻¹x의 미분은 1/(1+x²)입니다. 이 값이 x = 0일 때 얼마입니까?
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
1/(1+0²) = 1.
각 함수를 그에 맞는 미분 결과와 매칭하세요.
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
쌍곡선 쌍은 서로 바뀝니다 (음의 부호 없음, sin/cos과 다름); 역삼각함수 미분은 표준적인有理/무리수 형태입니다.
Maclaurin's series
- A Maclaurin series rebuilds a function as an infinite polynomial using its derivatives at $0$:
- Each coefficient 系数 needs the next derivative, evaluated at $x = 0$.
마클로린 급수에서 상수항은 f(0)입니다. f(x) = eˣ일 때, f(0)은 무엇입니까?
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
e⁰ = 1이므로, 상수항은 1입니다.
마클로린 급수에서 xⁿ의 계수는 분모에 n의 곱하기곱인 n!이 있습니다.
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xⁿ 항은 f⁽ⁿ⁾(0)/n! · xⁿ입니다 — n!은 분모에 있습니다.
Worked example — the series for eˣ
- For $f(x) = e^x$, every derivative is $e^x$, and $e^0 = 1$. So every coefficient is $\dfrac{1}{n!}$:
Each extra term bends the polynomial closer to $e^x$ near $x = 0$ — exactly how a calculator works.
More standard series. $\sin x = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \cdots$ and $\ln(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \cdots$ (valid for $|x| < 1$).
eˣ의 마클로린 급수는 다음과 같이 시작됩니다:
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eˣ = Σ xⁿ/n! = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …
Where the series is valid
- A Maclaurin series only matches the function within its interval of convergence 收敛区间.
- $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ converge for all $x$; but $\ln(1+x)$ only for $-1 < x \leq 1$.
Check convergence before you trust it. Far outside the valid interval the polynomial diverges 发散 wildly from the function — more terms make it worse, not better.
- Differentiate hyperbolic functions and inverse functions, and relations given implicitly or parametrically.
ln(1+x)의 마클로린 급수는 모든 x 값에 대해 유효합니다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
이 급수는 −1 < x ≤ 1 범위에서만 수렴하며, 그 밖의 구간에서는 발산합니다.
You've got it
- new derivatives: $\sinh x \to \cosh x$, $\tan^{-1}x \to \dfrac{1}{1+x^2}$, $\sin^{-1}x \to \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
- Maclaurin: $f(x) = f(0) + f'(0)x + \dfrac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots$
- $e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \cdots$ — more terms fit better, within the interval of convergence