이 과정의 내용과 활용 방법
이는 대학 전기 공학 과정 중 열한 번째입니다: 통신 시스템. EE06는 신호 도구를 구축했습니다; 이번 과정은 신호를 실제 채널을 통해 전송합니다 — 반송파에 변조되어, 비트로 양자화되고 코드로 보호됩니다.
- 단위 11.1–11.3은 아날로그: 스펙트럼, AM, FM.
- 단위 11.4–11.6은 디지털 체인: 노이즈 및 SNR, PCM, 변조.
- 단위 11.7는 한계를 설정합니다: 엔트로피, 용량, 코딩.
channel, a receiver, and a data modem sharing the same wire. Every unit below moves one block of that link forward, and every number is checked the way a communications engineer checks it — every dB claim recomputed as a ratio, every power budget closed (carrier + sidebands = total), and every bandwidth claim tested against the channel it must fit. 중요성. 라디오 규제 기관은 킬로헤츠 단위로 스펙트럼을 판매합니다.
신호, 스펙트럼 및 대역폭
중요성. 라디오 규제 기국은 킬로헤즈 단위로 주파수를 판매한다; 파형의 형태에 의해 결정됩니다. 주파수 스펙트럼은 파형의 형태에 의해 결정된다.
그림이 있는 개념. 실제 신호는 스펙트럼을 차지한다. 정사각 파는 odd 하모닉으로 $4/\pi \cdot 1/k$ — 3차 하모닉이 1/3에서 진폭, 5차가 1/5 — 따라서 대역폭은 설계 선택사항임 테일에서 얼마나 많은 부분을 유지할지입니다. 변조 신호의 경우 사이드밴드 구조 규칙: 믹싱은 스펙트럼을 이동시키며, 절대 새로운 형태를 생성하지 않으므로, 너비가 $W$인 베이스밴드 신호가 반송파 위에는 무선 스펙트럼의 $2W$만큼을 차지합니다.
유도 과정. 푸리에 급수는 사각파를 다음과 같이 표현합니다 $\frac{4}{\pi}\sum_{k\ \mathrm{odd}} \frac{1}{k}\sin(k\omega_{0}t)$, 따라서 $B$에서의 저역통과 필터는 $kf_{0} \le B$를 포함하는 하모닉을 유지하며, 전력 비율은 파르세발 정리에 따라 구해집니다: 각 고조파의 전력은 그 진폭의 제곱이므로, 기본파만으로도 $1.273^{2}/(1.273^{2} + 0.424^{2} + 0.255^{2} + \ldots) \approx 81\%$.
작업 예제 1 — 1 kHz 사각파를 5 kHz 저역통과 필터에 통과시킴. 이 필터는 1차 고조파(전진폭 $4/\pi = 1.273$)와 3차($1.273/3 = 0.424$), 5차(0.255) 이상의 고조파를 차단합니다. 다음을 확인하십시오. ≈ $(1.273^{2} + 0.424^{2})/(1.273^{2} + 0.424^{2} + 0.255^{2} + \ldots)$% — 귀는 둥근 소리를 들으며, 계측기는 거의 움직이지 않습니다. 이것이 바로 ≈ 90% — 귀는 반올림을 들으며, 계량기는 거의 움직이지 않습니다. 이것이 300–3400 Hz 전화 채널은 모든 대역폭에서 화음을 명확하게 전달한다.
해설 예제 2 — 라디오 면허로 확장. 4 kHz 음악 신호를 100 kHz 반송파에 혼합하여 배치하면: 스펙트럼은 반송파와 96 kHz부터 104 kHz까지 넓게 퍼진 미러 사이드밴드로 변함 — $2W = 8$ kHz 점유 대역폭입니다. 면허가 8 kHz를 부여한다면, 진폭 변조는 정확히 이를 채웁니다; 4 kHz만 부여받고 한쪽 측파대를 전송해야 합니다. (SSB, 단위 11.2의 주제). 확인: 어떤 필터 조합도 신호를 삭제하지 않고 점유량을 $W$ 이하로 줄일 수 없습니다 — 이 $2W$ 법칙은 기하학이며, 전자회로가 아닙니다.
자주 하는 실수. 정의 없이 "대역폭"을 인용함(−3 dB? 98% 출력? 첫 번째 영점? — 명시할 것). 필터가 신호를 신호 정보 폭보다 좁게 만들 수 있다고 믿음. 그리고 조화 성분이 진폭에서는 $1/k$으로, 출력에서는 $1/k^{2}$으로 감소한다는 것을 잊음 — 이 꼬리 부분은 겉보기보다 약합니다.
요약. 스펙트럼은 형태에서 유래합니다; 저역통과 테일은 전력 분율로 측정되는 설계 선택사항입니다; 변조는 이동시키고 두 배로 늘립니다. $2W$은 모든 면허가 작성되는 점유 법칙입니다.
진폭 변조
중요성. AM(진폭 변조)는 여전히 폐쇄를 유지하는 가장 간단한 운반파 시스템입니다. 전파기 출력은 반송파가 메시지를 운반하지 않는 상태로 안테나를 가열합니다. 모든 방송 엔지니어가 이 방식을 버린 이유와, 왜 포락선 검波器가 아직도 모든 라디오에 탑재되는지 설명합니다.
개념과 그림. 진폭 변조에서 반송파의 포락선이 신호를 전달합니다: 운반파의 포락선이 메시지를 전달합니다: $s(t) = A[1 + m \cdot x(t)]\cos(\omega_{c}t)$에 변조 지수를 적용 $m \le 1$. 스펙트럼은 운반파와 두 개의 측파대인 $f_{c} \pm f_{m}$이며, 전력 분배이 정확하다: 측파대 전력 $= (m^{2}/2)P_{c}$, 총합 $P_{c}(1 + m^{2}/2)$.
유도 과정. 단일 톤 신호 $x = \cos(\omega_{m}t)$에 대해: $s(t) = A\cos(\omega_{c}t) + \dfrac{mA}{2}\cos((\omega_{c}+\omega_{m})t) + \dfrac{mA}{2}\cos((\omega_{c}-\omega_{m})t)$ — 이 식의 곱을 쓰세요. 합으로 변환하면 두 측파대가 진폭 $mA/2$로 나타남, 따라서 각 전력 $(mA/2)^{2}$, 합계 $\frac{m^{2}}{2}P_{c}$.
해설 예제 1 — m = 0.5일 때의 전력 분배. 100 W의 운반파: 측파대 총합 $\frac{0.25}{2} \times 100 = 12.5$ W, 전송 112.5 W, 효율성 $12.5/112.5 = 11.1\%$ ✓. 합법적 최대값에서 $m = 1$: 측파대에 50 W, 총합 150 W, 33.3% — 송신기 전력의 송신기 출력이 신호가 없는 캐리어로 들어갑니다. 해설 예제 $P_{c}(1 + m^{2}/2)$ — 검波器 설계로 확장. 포락선 검波器(다이오드 및 RC 회로)는 포락선의 가장 급격한 감소를 따라갈 만큼 느리게 방전되어야 하지만, 운반파를 우회하지 않을 만큼 빠르도록 해야 함
해설 예제 2 — 검波器 설계로 확장하기. 포락선 검波器**(다이오드와 RC 회로)**는 포락선의 가장 급격한 하강을 따라야 하므로 방전 속도가 충분히 느려야 하지만, follow the envelope's fastest dips but fast enough not to bridge carrier peaks: $1/\omega_{c} \ll \tau \ll 1/\omega_{m}$. For $f_{c} = 100$ kHz and $f_{m} = 5$ kHz, $\tau$ must sit between $1.6\ \mu$s and $31.8\ \mu$s; $\tau = 10\ \mu$s works with margin at both ends ✓. Push $m$ toward 1 상한이 $\dfrac{\sqrt{1-m^{2}}}{m\,\omega_{m}}$로 수렴합니다 — 즉, $m = 0.9$일 때 $\dfrac{\sqrt{0.19}}{0.9} \times \dfrac{1}{2\pi \cdot 5\,\text{kHz}} = 15.4\ \mu$s: the same RC, less than half the slack, which is why 심변조가 다른 고장 발생 전에 왜곡을 일으킵니다.
Common mistakes. Setting $m > 1$ (envelope folds, phase reverses, 검波器가 잡음을 생성함)를 설정하는 것. 총 전력 대비 효율을 계산할 때 한 가지 방식과, 반송파 전력 대비 효율을 계산할 때 또 다른 방식을 사용하는 것 (분모를 명시). 그리고 반대로 캐리어 전력을 고려하는 경우(분모 명시). 또한 캐리어만으로 $\tau$을 선택하는 경우: 캐리어는 하한만 결정합니다. 하한; 메시지의 최고 주파수와 변조 깊이 $m$이 상한을 결정합니다.
Summary. AM: envelope $=$ message; sidebands $m^{2}/2 \times P_{c}$; 효율은 33%에서 정점에 달하며, 검출기의 RC 상수는 $1/\omega_{c}$과 $\sqrt{1-m^{2}}/(m\,\omega_{m})$.
각도 변조(FM/PM)
중요성. FM은 폭풍우 중에서도 방송되는데, 이는 대역폭을 노이즈 내성으로 교환하기 때문입니다. 그 교환 규모 — 카슨의 법칙에 따르면 한쪽에서는 대역폭, 다른쪽에서는 SNR 이득 — 이 교육 과정에서 가장 명확한 공학적 타협점입니다. engineering bargain. 개념과 그림. 주파수 변조는 메시지를
개념, 그림과 함께. 주파수 변조는 메시지를 즉각적 주파수: $f_{i} = f_{c} + k_{f}x(t)$. 최대 신호에 대한 주파수 편차 $\Delta f$ 주파수 $f_{m}$는 변조 지수를 산출함 $\beta = \Delta f/f_{m}$, 그리고 카슨의 법칙 $B \approx 2(\Delta f + f_{m})$가 유의미한 스펙트럼을 한계 짓습니다.
유도 과정. $f_i$를 적분하면 위상이 됨 $\phi(t) = 2\pi f_{c}t + \beta\sin(\omega_{m}t)$; 전개하여 $A\cos(\phi)$를 자코비-앙거 항등식으로 처리하면 다음 주파수에서 스펙트럼 선이 생성됨 $f_{c} \pm kf_{m}$에서 베셀 가중치 $J_{k}(\beta)$ — 유의미한 선들은 약 $k \approx \beta + 1$ 근처에서 멈추며, 이는 정확히 카슨의 $2(\Delta f + f_{m})$. 카슨의 법칙은 대략 98%의 일반 FM 모델의 전력에 포함된 대역폭을 추정합니다. 엄격한 스펙트럼 차단이 아닙니다.
해설 예제 1 — FM 방송. $\Delta f = 75$ kHz, $f_{m} = 15$ kHz: $\beta = 5$, $B = 2 \times 90 = 180$ kHz — 그리고 200 kHz 채널 간격은 20 kHz의 보호 대역을 남김 ✓. 협대역($\beta \ll 1$): $B$ 약 $2f_{m}$로 수렴하여, 무전기 모드에 해당함. 한계를 확인함: $\Delta f \to 0$은 $\beta \to 0$, $J_{0} \to 1$을 제공함 — 오직 반송파만, 필연적으로 그래야 함.
해당 예제 2 — 협상 가격으로 상향 조정. 광대역 FM은 검출 후 SNR: $(S/N)_{out} \approx (3\beta^{2}/2)\,(S/N)_{ref}$를 고SNR 영역에서, 기준 $(S/N)_{ref}$는 메신저 밴드 내 잡음 $f_{m}$(동일한 전력에서의 베이스밴드 전송이 줄일 수 있는 것)에 대한 수신 전력입니다. 전력 $\beta = 5$: $10\log_{10}(37.5) = 15.7$ dB의 향상된 성능 — 대가로 180 kHz의 대역폭을 사용해야 합니다(AM의 30 kHz의 6배). FM 임계점 근처 입력 15 dB에서 클릭 노이즈와 포획 현상이 우세해지기 직전까지 완전히 손실된다. 약 10 dB의 캐리어-노이즈 비율 근처에서 180 kHz 채널에서 클릭 노이즈와 포획 현상이 지배하는 임계점. 장부 기록: 7.8 dB의 스펙트럼을 위해 15.7 dB의 이득.
자주 하는 실수. 카슨 규칙을exact하게 사용하는 것(이는 정밀한 공식이 아니라), 98%–power bound). Mixing up $\Delta f$ (a property of the modulator) PM을 간과하는 것: 동일한 기법이지만 메시지가 위상에 포함되면, 주파수에 의존하지 않는 $B$가 됩니다. 위상/message의 메신저와 혼동하여, $\beta_{PM} = k_{p}A_{m}$ — 주파수에 무관하므로 FM이 방송에서 승리하고 PM이 데이터 모뎀 내부에 존재합니다. inside data modems.
요약. $\beta = \Delta f/f_{m}$; $B \approx 2(\Delta f + f_{m})$; 광대역 SNR 이득은 $3\beta^{2}/2$이며, 이는 임계점 이상에서만 유효합니다.
노이즈 및 SNR
중요성. 본 이야기의 링크 버지는 증폭기가 더 낮출 수 없는 노이즈 바닥, 즉 우주의 열적 바닥에서 멈춥니다. 모든 수신기 단계는 신호가 이 바닥보다 얼마나 위에 도달하는지를 결정합니다. 우주 — 모든 수신 단계가 신호가 그보다 얼마나 높은지 결정합니다. 도출 과정. 단계별 입력 환산 노이즈는 각 단계의 입력에 합산되며, 이전 단계의 이득은 후속 노이즈를 해당 이득만큼 감소시킨다. 따라서 전체 캐스케이드 환산 노이즈는
개념, 그림과 함께. 모든 수신기는 잡음을 추가합니다. 잡음 $F$은 첫 번째 단이 모든 것을 결정함을 말합니다: $F = F_{1} + (F_{2}-1)/G_{1}$은 첫 번째 단이 everything을 결정한다고 말합니다: 그 증가는 모든 후속 단계의 기여를 나눕니다.
도출 과정. 단계별 입력 기준 잡음은 각 단계의 입력에 합산되며, 이전 증폭기들이 후속 단계의 잡음을 증폭 계수만큼 낮춰주므로, 연쇄 연결 전체의 입력 기준 잡음은 $F_{1} + (F_{2}-1)/G_{1} + (F_{3}-1)/(G_{1}G_{2}) + \ldots$ — 두 가지 건강한 증폭의 단계에서 꼬리 항은 사라집니다. 열적 바닥: $-174\ dBm/Hz + 10\log_{10}B$.
Worked example 1 — the LNA wins. LNA with $F_{1} = 1.76$ dB ($F = 1.5$) and $G_{1} = 10$ dB ahead of a mixer with $F_{2} = 4.77$ dB ($F = 3$): the chain computes $F = 1.5 + (3-1)/10 = 1.70 = 2.30$ dB ✓ — the mixer's 4.77 dB collapsed to a 0.5 dB penalty. Swap the blocks: $3 + (1.5-1)/10 = 3.05 = 4.84$ dB — 2.5 dB worse for the same parts. In a 180 kHz FM channel the floor sits at $-174 + 10\log_{10}(180\,000) = -121.4$ dBm.
해설 예제 2 — 링크 버짓으로 확장합니다. 송신기는 delivers $-20$ dBm at the receiver's antenna after path loss; the 채널이 180 kHz 폭을 가진다. 신호 $-20$ dBm이 잡음 $-121.4$ dBm에 대해 입력 $S/N = 101.4$ dB — 매우 큽니다. 수신기의 자체 잡음은 2.3 dB 잡음 계수를 통해 기준선(floor)을 $-119.1$ dBm까지 높이며, 따라서 캐리어-잡음비 전단(front end) 이후의 비율은 $-20 - (-119.1) = 99.1$ dB로 FM 임계값(threshold)보다 훨씬 높습니다. 단위 11.3의 FM 이득은 메시지 밴드 기준에 대해 제시됩니다: 15 kHz 오디오 밴드의 잡음은 $-174 + 10\log_{10}(15\,000) + 2.3 = -129.9$ dBm이므로, 이는 $(S/N)_{ref} = 109.9$ dB에 해당하며, 변조 해제기(demodulator)의 15.7 dB 증가는 검출 후(post-detection) $S/N$을 약 125.6 dB의 선형 영역 — 하이파이를 훨씬 초과하며, 실제 한계는 스테레오로 정의됩니다. 노이즈가 아닌 처리를 수행합니다. 하나의 버짓, 세 개의 단위, 완료됨.
자주 하는 실수. 데시벨(dB) 단위의 노이즈 지수를 더합니다(선형 $F$로 변환해야 합니다). 중요성. 이 장치의 링크는 디지털화된다: 마이크의 전압이 비트가 되고, 비트가 펄스가 되며, 펄스 형태가 도선이 이를 전달할 수 있는 속도를 결정한다. bandwidth — 10 dB per decade of $B$. And quoting a cascade $F$ for a mismatched reference temperature or impedance; $F$ is defined at 290 K.
Summary. $F_{total} = F_{1} + (F_{2}-1)/G_{1} + \ldots$; first stage rules; floor $= -174\ dBm/Hz + 10\log_{10}B$; every budget closes in dB 비율이 선형이 되면 산술 연산도 선형으로 전환됩니다.
PCM 및 베이스밴드 전송
중요성. 본 단원에서의 연속 링크가 디지털화됩니다: 마이크의 전압이 비트가 되고, 비트가 펄스가 되며, 스는 마이크전압이 비트로 변환되고, 비트가 펄스로 변환되며, 이 펄스는 모양이 도선이 이를 전달하는 속도를 결정합니다.
개념, 그림과 함께. 양자화는 정밀성을 양자화 비트: $n$ 비트는 $2^{n}$ 레벨을 제공하며, $SQNR \approx 6.02n + 1.76$ dB. $f_{s} > 2W$(나이퀴스트)에서 샘플링하면 부호화는 PCM — 전체 전화망의 기반입니다. 베이스밴드에서 로일오프 $\alpha$를 가지는 raised-cosine 필터는 대역폭을 타이밍 여유로 바꿔서: $B = (1+\alpha)R_{s}/2$.
도출 과정. 단계 $\Delta$를 가진 균등 양자화기는 각 sample to the nearest level; the error is uniform on $[-\Delta/2, \Delta/2]$ with variance $\Delta^{2}/12$ 범위에서 균등합니다. 풀스케일 사인파에 대해 전력 $(2^{n}\Delta)^{2}/8$인 경우, 비율은 $1.5 \cdot 2^{2n}$ — $10\log_{10}$ 중 하나는 $6.02n + 1.76$ dB입니다. 이 $6.02$는 1비트 = 한 번 더 배가됨 = $10\log_{10}4$입니다.
작업 예제 1 — 전화번호. 4 kHz 음성 신호를 8 kHz로 샘플링하고 샘플당 8 비트 사용: $8\,000 \times 8 = 64$ kbps; $SQNR = 6.02 \times 8 + 1.76 = 49.9$ dB ✓ (256 levels). Every 1 dB of extra SQNR 비용은 샘플당 1/6비트 — 8비트 선택은 해당 가격의 적정 품질 결산입니다.
작업 예제 2 — 도선으로 확장. $R_{s} = 1$ Msym/s에서 $\alpha = 0.35$: $B = 1.35 \times 1/2 = 0.675$ MHz ✓ — 모든 모뎀 데이터시트에 인용된 값으로 줄입니다. 롤오프를 $\alpha = 0$로 설정하고 spectrum touches the $R_s/2$ ideal but the pulse's zero-crossings become 칼날 같은 타이밍을 형성합니다. 맨체스터 코딩은 강력한 클록을 확보하기 위해 대역폭을 두 배로 늘립니다(고전적인 이더넷 선택): 첫 번째 스펙트럼 영점이 시계(클래식 이더넷 선택): 첫 번째 스펙트럼 영점의 위치는 $2R$이며 NRZ의 $R$과 비교됩니다. NRZ에는 DC 성분이 있고 시계가 없습니다. 각 라인 코드는 대역폭-대-시계 plane.
Common mistakes. Sampling exactly at $2W$ (the inequality is strict; at equality the guard band is zero and any filter ripple aliases). Confusing $SQNR$ with the analog SNR of the whole chain. And forgetting $\alpha = 0$ is unbuildable — it is the bound that real filters 접근법.
요약. $SQNR = 6.02n + 1.76$ dB; 나이퀴스트 $f_s > 2W$; 라이즈드 코사인 $B = (1+\alpha)R_{s}/2$; 라인 부호는 스펙트럼과 클록 강도 사이에서 트레이드오프한다.
디지털 변조
중요성. 링크의 비트는 캐리어를 타고 이동해야 하며, 그 constellation you draw decides how many of them fit per hertz and how easily noise knocks them off their points.
그림으로 보는 개념. 데이터는 도형이라는 운반파를 타고 이동합니다. : ASK moves amplitude, PSK rotates phase, QAM does both. More points per symbol = more bits/Hz and more sensitivity to noise — the two-dimensional trade is the whole story.
도출 과정. 최소 거리가 동일한 $d$일 때, 평균 기호 에너지는 제곱 반경의 평균인 $E_{avg} = \overline{r^{2}}$입니다. computed directly per constellation: QPSK's four points sit on a circle ($r = d/\sqrt{2}$ 내부 점, $E_{avg} = r^{2} = d^{2}/2$ 가장자리 점, 16 모서리 점)는 제곱 반경의 평균을 내며, (4 inner points, 8 edge points, 4 corner points) averages the squared radii to $E_{avg} = (4 \cdot 0.5 + 8 \cdot 2.5 + 4 \cdot 4.5)\,d^{2}/16 = 2.5d^{2}$ — 인자 5, 즉 7.0 dB, 2× 비트당 기호당.
Worked example 1 — the energy ledger. QPSK: 2 bits/symbol at $E = 0.5d^{2}$. 16-QAM: 4 bits/symbol at $2.5d^{2}$ — five times the symbol energy, 7.0 dB. Per bit the ledger softens: $0.25d^{2}$ against $0.625d^{2}$ — factor 2.5 = 4.0 dB, because 16-QAM carries two bits per symbol ✓. Check with the datasheet number: the classic 16-QAM-vs-QPSK gap in $E_{b}/N_{0}$ at $10^{-6}$ BER is quoted near 4 dB — the per-bit geometry, measured.
Worked example 2 — escalate to the cliff. Under AWGN, BPSK's BER is $Q(\sqrt{2E_{b}/N_{0}})$. At $E_{b}/N_{0} = 5$ dB: $\sqrt{2 \times 3.16} = 2.51$, $Q(2.51) \approx 6 \times 10^{-3}$. At 9 dB ($\sqrt{2 \times 7.94} = 3.98$): $Q(3.98) \approx 3 \times 10^{-5}$. 어떻게 하는지에 대한 것입니다. 12 dB에서: $\approx 10^{-8}$. 세 개의 점, 하나의 절벽 — 4 dB는 두 자릿수 크기의 감쇠를 제공합니다. 다음 3 dB는 세 개를 더 추가하며, 이것이 링크 예산이 last dB.
자주 하는 실수. 평균 에너지가 동일한 상응도를 비교하는 것보다, 공정한 비교는 최소 거리(또는 최대 피크 값)가 동일한 경우입니다. 링크가 단절되기 전에 dB를 예산해야 합니다. $E_{b}/N_{0}$ 곡선을 읽을 때 정규화 여부를 확인하지 않습니다. 또한, bits-per-symbol gains scale as $\log_{2}M$ while energy grows far faster in $M$ — the cliff gets steeper.
요약. 등가-$d$ 표기법: QPSK $d^{2}/2$, 16-QAM $2.5d^{2}$ (7 dB, 2×비트). BPSK BER $Q(\sqrt{2E_{b}/N_{0}})$; 곡선은 절벽과 같습니다 — 링크가 단선되기 전에 dB 예산을 계획하십시오. budget the dB before the link goes out.
정보 및 코딩 개론
중요성. 마지막 블록은 지도의 경계를 그립니다: 소스가 받을 자격이 있는 비트 수, 채널이 허용하는 비트 수, 그리고 코드가 이론으로 나아가는 과정. 소스의 필요성, 채널이 허용하는 비트 수, 그리고 부호화가 실습에서 어떻게 작동하는지 이론적 접근.
개념 및 시각 자료. 엔트로피 $H = -\sum p\log_{2}p$ 비트/Hz를 구매합니다 — 대역폭에 선형적이며, 전력에 로그적입니다. 채널 부호는 보호를 위해 중복을 사용한다. 상한선은 codes** spend redundancy on protection instead. The ceiling is 채널 용량 $C = B\log_{2}(1+S/N)$.
$p$을 보장으로 읽는 것 — 코드들은 그것에 접근하지만, 그중 어느 것도 도달하지 못합니다. 2), 허프먼의 탐욕적 병합은 길이 $\log_{2}(1/p)$를 정확히 생성하므로, 평균은 $H$과 같음 — 도달됨, 접근만 하는 것이 아님; 비이진 소스는 1비트 이내의 범위에 위치함.
해설 예제 1 — 사분위 소스. 확률 1/2, 1/4, 1/8, 1/8: 네 항 $p\log_{2}(1/p)$은 0.5, 0.5, 0.375, 0.375이므로, 따라서 $H = 1.75$비트 ✓ 고정 길이 2비트에 비해 — 효율성 87.5%; 허프먼 길이 1, 2, 3, 3의 평균은 정확히 1.75 ✓ — 이진이며, 한계 달성에 도달함. 해밍 코드 (7,4): 데이터 4 + 패리티 3, 거리 3, 단일 오류 수정 가능: 인코딩 1011 → 0110011; 비트 5를 뒤집으면 시드롬이 computes to $101_{2} = 5$ ✓. Rate 4/7 (43% redundancy).
해설 예제 2 — 모뎀 상한선까지 확대. 3kHz 채널에서 30 dB SNR: $C = 3000 \times \log_{2}(1001) = 29.9$kbps — 디얼업의 ceiling. V.90/V.92 hit 56 kbps downstream only by going digital to the exchange — inside the law. Check the direction: 10 dB more SNR buys $\log_{2}(10) \approx 3.3$ bits/Hz — linear in bandwidth, logarithmic in power.
그리고 $H$을 보장으로 읽음 — 코드는 이를 접근하지만, 어느 하나도 도달하지 못함. $\log_{2}$). Believing Huffman always meets $H$ (only dyadic). And reading $C$ as a guarantee — codes approach it, none reach it.
요약. $H = \sum p\log_{2}(1/p)$, Huffman가 이진 소스에 대해 만족함 sources; Hamming (7,4) fixes one error at 43% redundancy; $C = B\log_{2}(1+S/N)$는 ceiling입니다.