범위 및 전제 조건
디지털 SAT 체계에 기반함. 이러한 종이 과제는 적응형이 아니며scaled score를 예측하지 않습니다.
- 매개변수가 포함된 일변수 일차방정식을 풀고 분류하기
- 이변수 일차방정식을 순서쌍의 집합으로 해석하기
- 맥락이 주어진 일차함수의 기울기와 절편을 해석하기
- 연립일차방정식을 분류하고 교점을 확인하기
- 일변수 또는 이변수에서 엄격한 부등식과 포괄 부등식을 표현하기
선행 지식: 항을 묶어 정리; 순서쌍 대입; 부호 있는 산술 계산
방법 설명 및 선택
Collect variable terms and constants separately. An equation ax+b=cx+d becomes (a-c)x=d-b. If a-c is nonzero there is one solution; if both sides reduce to zero there are infinitely many; if the variable coefficient is zero but the constant is nonzero there are none. Never divide by a parameter before checking whether it can be zero.
두 변수 방정식은 순서쌍의 집합을 나타낸다. y=mx+b에서 m은 x당 y의 변화량이며, b는 x=0일 때의 y 값이다. 문맥 모델에서는 단위를 각각 붙여라: 택시 요금 C=3t+5은 5단위의 초기 요금과 시간 단위당 3단위이다. 대수적으로는 존재하더라도 실용적 영역 밖일 수 있는 절편이 있다.
For a system, compare both coefficients and constants. Multiplying one whole equation by a nonzero number produces the same line; matching variable coefficients with different constants gives parallel distinct lines. Otherwise an intersection supplies the pair satisfying both equations. Substitute the pair into both original equations to check it.
부등식의 양변에 음수를 곱하거나 나누면 부등호 방향이 반대가 됩니다. 엄격한 부등식은 경계를 포함하지 않으며, ≤ 또는 ≥ 부등호는 경계를 포함합니다. 이변수인 경우 해당 직선을 그리고 직선 밖의 점 하나를 대입하여 허용되는 반평면을 확인하십시오. 이 그림은 특정 하나의 점이 아니라 모든 해의 집합을 표현한 것입니다.
항등식은 모든 허용 가능한 입력에 대해 성립합니다. 시작점은 $ax+b=cx+d$입니다. 항을 정리하다: $(a-c)x=d-b$. 나누기 전에 $a-c$을 확인한다. $a=c$이고 $b=d$이면 모든 실수 입력이 유효하다. 오직 $a=c$인 경우, 어떤 입력도 유효하지 않다. 그 외에는 $x=(d-b)/(a-c)$이 하나의 해를 제공한다.
*풀이 단계: (a-c)x = d-b → a-c = 0: d-b 확인 → a-c ≠ 0: 안전하게 나눈다
풀이 예제. kx+6=2x+6에서 k=2이면 0=0가 되어 해가 무한히 많다; k≠2이면 x=0이다. -2x+3<11, subtract 3 and divide by -2 to get x>-4이다. y≤2x+1에서 (0,0)는 맞고 실선 경계는 포함된다. 연립방정식 2x+4y=10와 x+2y=6은 두 번째 식을 두 배로 하면 좌변이 같아져 12이 되어야 하는데 10이므로 해가 없다.
연습 자료
아래 각 연습 문제에서는 필요한 모든 데이터를 명시하고 있습니다.
추론 연습
연습 1
모든 실수 $p$에 대해 $(p-1)x+3=2x+p$의 해를 분류하십시오.
추론. 항을 정리하면 $(p-3)x=p-3$이 된다. $p=3$일 때 방정식은 $0=0$이므로 모든 실수 $x$이 해가 된다. $p\ne3$일 때 $p-3$으로 나누어 $x=1$을 얻는다. 해가 없는 $p$의 값은 존재하지 않는다. $x=1$을 대입하면 양변이 모두 $p+2$이 된다.
연습 2
A hire charge $C$ yuan has a fixed fee $f$ yuan and rate $r$ yuan per hour. Three hours cost 31 yuan; seven hours cost 59 yuan. Find $f,r$ and the greatest affordable whole number of hours with 80 yuan.
추론. $C=f+rt$을 사용하십시오. 방정식은 $31=f+r(3\,\mathrm{h})$과 $59=f+r(7\,\mathrm{h})$입니다. 뺄셈: $r=(59-31)\,\mathrm{yuan}/(7-3)\,\mathrm{h}=7\,\mathrm{yuan/h}$. 그러면 $f=31\,\mathrm{yuan}-(7\,\mathrm{yuan/h})(3\,\mathrm{h})=10\,\mathrm{yuan}$입니다. 예산: $10+7t\le80$, 따라서 $t\le10$시간입니다. 전체 10시간은 가능하지만, 11시간은 87위안이 듭니다.
연습 3
$y>2x-1$과 $y\le-x+5$을 만족하는 모든 점을 설명하십시오. $(2,3)$는 포함되나요? 가능한 $x$-값을 나열하십시오.
추론. 첫 번째 경계선은 점선이고 두 번째는 실선입니다. 공통 영역은 첫 번째 직선 위이며 두 번째 직선 위 또는 아래에 있습니다. $(2,3)$에서 첫 번째 조건은 $3>3$인데, 이는 성립하지 않습니다. 수직 구간이 존재하려면 $2x-1<-x+5$여야 하므로, 결과적으로 $x<2$입니다. 두 직선은 $(2,3)$에서 만나는 지점을 제외하고는 교차하지 않습니다.
한계 및 향후 활용법
x=0과 소거된 변수 계수를 혼동하지 마십시오. 음수인 수로 곱하거나 나눌 때만 부호를 반대로 하십시오. 또는 직선의 기울기만으로 반평면을 채우지 마십시오.
이것들은 이 과정을 위해 작성된 원본 연습 문제이지 공식 시험 문제가 아닙니다.