범위 및 전제 조건
디지털 SAT 체계에 기반함. 이러한 종이 과제는 적응형이 아니며scaled score를 예측하지 않습니다.
- 닮은 도형의 길이, 면적, 부피 비례 법칙 적용하기
- 평행선 각과 삼각형 내각의 합을 이용하여 미지수 구하기
- 닮음과 합동 및 충분한 정보의 차이 구분하기
필요 지식: 삼각형 내각의 합; 피타고라스 정리; 길이/면적/부피 단위.
방법 설명 및 선택
길이 비가 k인 닮은 도형에서 대응 길이는 k배, 면적은 k²배, 부피는 k³배로 변한다. 모든 대응 치수가 함께 변화할 때 이 법칙이 성립한다. 반지름만 두 배로 늘리고 높이가 고정된 원통의 부피는 여덟 배가 아니라 네 배이다. 지수 선택 전에 어떤 치수가 비례하는지 명시하라.
올바른 기하학적 측정을 사용하라: 삼각형의 면적은 밑변에 수직 높이를 곱한 값의 절반이며, 원통의 부피는 밑면적에 높이를 곱한 값이다. 표면적은 노출된 면의 합이고, 부피는 내부 공간의 크기를 나타낸다. 빗변 길이는 반드시 면적 공식에 필요한 수직 높이가 아니다. 결과에는 제곱 또는 세제곱 단위를 붙여라.
대각선은 서로 같다. 한 직선이 두 평행선을 절단할 때, 대응각과 번갈아 안쪽 각은 서로 같고 같은 쪽 안쪽 각의 합은 180°이다. 삼각형의 내각의 합은 180°이며, 외각은 두 대안 내각의 합과 같다. 이러한 규칙은 그림의 겉모습이 아닌 명시된 또는 표시된 평행성에 의존한다.
닮은 삼각형은 대응각이 같고 대응변의 비가 일정하며, 합동 삼각형은 대응변의 길이도 모두 같다. 두 각의 동등성은 닮음을 보장하지만 크기 동일성을 보장하지는 않는다. 비를 쓸 때 대응 관계를 유지하라. 변-변-각 배열은 합동을 보장하지 않지만, 변-각-변에서는 각이 두 변 사이에 위치한다.
확대축 $k$이 모든 대응 길이를 변경합니다. 비례 형상에 대한 $A_2=k^2A_1$ 및 $V_2=k^3V_1$. $k=3/2$ 및 $A_1=24\,\mathrm{cm^2}$라면, $A_2=(3/2)^2(24\,\mathrm{cm^2})=54\,\mathrm{cm^2}$입니다. 단 one dimension만 변경하는 것은 이러한 비례 규칙을 정당화하지 않습니다.
Worked example. Two similar solids have edge ratio 2:3, so surface-area ratio is 4:9 and volume ratio 8:27. A triangular garden with base 12 m and perpendicular height 5 m has area 30 m². If a triangle has interior angles 48° and 67°, its third is 65° and the adjacent exterior angle is 115°=48°+67°.
연습 자료
아래 각 연습 문제에서는 필요한 모든 데이터를 명시하고 있습니다.
추론 연습
연습 1
비례 용기의 표면적은 각각 96과 216제곱센티미터입니다. 작은 용기의 부피는 160세제곱센티미터입니다. 큰 용기의 부피를 구하십시오.
추론. $k=\sqrt{A_2/A_1}=\sqrt{216/96}=3/2$. 부피는 세제곱을 사용해야 한다: $V_2=k^3V_1=(3/2)^3(160\,\mathrm{cm^3})=540\,\mathrm{cm^3}$. 면적 비를 직접 사용하면 잘못된 부피가 나온다.
연습 2
직각삼각형의 빗변이 13cm, 한 변이 5cm이다. 나머지 변, 삼각형의 넓이, 그리고 5cm 변에 맞은편 각의 사인값을 구하시오.
추론. $b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{(13\,\mathrm{cm})^2-(5\,\mathrm{cm})^2}=12\,\mathrm{cm}$. $A=ab/2=(5\,\mathrm{cm})(12\,\mathrm{cm})/2=30\,\mathrm{cm^2}$. $\sin\theta=a/c=(5\,\mathrm{cm})/(13\,\mathrm{cm})=5/13$.
연습 3
삼각형의 두 내각이 각각 42°과 73°일 때, 나머지 한 각과 그 인접한 외각을 구하시오. 또한, 이 두 각만으로 모든 변의 길이를 결정할 수 있는가?
추론. 세 번째 각은 $180-42-73=65$도이다. 그 외접각은 $180-65=115$도이며, 또한 $42+73$이다. 각은 모양을 결정하지만 크기를 결정하지 않으며, 닮은 삼각형은 서로 다른 변 길이를 가질 수 있다.
연습 4
두 평행선이 한 직선에 의해 절개됩니다. 한 쌍의 대응각이 68°일 때, 이에 대응하는 다른 대응각과 두 번째 직선 위의 인접한 각을 구하십시오. 각 단계마다 주어진 조건이 이를 정당화하는 이유를 설명하십시오.
추론. 평행선에 의한 동위각은 68°입니다. 인접한 각은 직각을 이루므로, 다른 한 각은 180°−68°=112°입니다. 동일한 동위각이 성립하려면 주어진 평행선이 필수적이며, 직각의 합은 한 직선 위의 인접성을 기반으로 합니다. 평행성이 없는 유사한 도식만으로는 첫 번째 등식이 정당화되지 않습니다.
한계 및 향후 활용법
전체 도형이 확대될 때만 k² 또는 k³을 사용하십시오. 표식이 없는 스케치에서 평행선이나 수직 높이를 추론하지 마십시오.
이것들은 이 과정을 위해 작성된 원본 연습 문제이지 공식 시험 문제가 아닙니다.