범위 및 전제 조건
디지털 SAT 체계에 기반함. 이러한 종이 과제는 적응형이 아니며scaled score를 예측하지 않습니다.
- 평균, 중앙값, 최대-최소 범위 및 표준편차를 질적으로 비교하십시오
- 모든 데이터 값에 더하거나 곱할 때의 영향을 예측하십시오
- 값과 개수를 혼동하지 않고 빈도 정보를 읽으십시오
선행 지식: 순서 데이터; 빈도; 평균 및 중앙값.
방법 설명 및 선택
평균은 모든 관측치의 합을 그 개수로 나눈 값이며, 중앙값은 정렬된 관측치 중 가운데 값입니다. 빈도는 특정 값이 반복됨을 의미합니다: 2이 세 번, 8이 한 번 나타날 때 평균은 (3·2+8)/4=3.5이지, (2+8)/2가 아닙니다. 표시판의 수평 위치는 값이며 빈도는 해당 값이 대표하는 관측치의 수를 결정합니다.
최대-최소 범위는 최대값에서 최소값을 뺀 값이며, 표준편차는 평균으로부터의 일반적인 거리를 설명합니다. 단순하고 대칭적인 분포를 비교할 때는 전체 공식을 외울 필요가 없습니다: 평균에 밀집된 데이터는 대칭적으로 멀리 떨어진 데이터보다 표준편차가 작습니다. 이상치는 평균과 산포도를 크게 변경할 수 있으나 중앙값은 안정적일 수 있습니다.
모든 관측치에 상수 c를 더하면 평균과 중앙값이 c만큼 증가하지만, 쌍 간 거리( pairwise distances)는 변하지 않으므로 최대-최소 범위와 표준편차는 그대로 유지됩니다. 모든 관측치를 양수 k로 곱하면 평균, 중앙값, 최대-최소 범위, 표준편차가 모두 k배가 됩니다. 일반적으로 산포도는 |k|에 비례하며, 음수 배수는 순서를 반대로 만듭니다.
그래프를 비교할 때는 겉보기 넓이를 판단하기 전에 축의 눈금과 관측치의 수를 확인하십시오. 그래프를 수평으로 늘리면 서로 다른 값을 나타내지 않아도 더 변동성이 커 보이게 될 수 있습니다. 표준편차의 동등성에 대한 주장은 최대-최소 범위나 평균이 같다는 사실만으로는 부족하며 실제 분포가 필요합니다.
빈도는 반복된 관측 횟수를 세는 값입니다. Values 1, 3, 7 with frequencies 2, 1, 1 represent four observations: 1, 1, 3, 7. $\bar x=\sum fx/\sum f=(2(1)+1(3)+1(7))/4=3$. 중앙치는 $(1+3)/2=2$입니다. 평균과 같을 필요는 없습니다.
해설 예시. A={4,5,6}과 B={0,5,10}는 평균과 중앙값이 모두 5이지만, B의 산포도가 더 큽니다. 7을 더하면 A+7={11,12,13}가 되어 평균은 12이고 A와 동일한 표준편차를 가집니다. A를 2배 하면 {8,10,12}이 되며, 평균은 10이고 최대값-최소값 및 표준편차는 두 배가 됩니다. 최대값-최소값만 같다고 해서 표준편차도 반드시 같지는 않습니다.
연습 자료
아래 각 연습 문제에서는 필요한 모든 데이터를 명시하고 있습니다.
추론 연습
연습 1
값 2, 5, 8의 빈도는 각각 3, 2, 1입니다. 평균, 중앙값, 최대-최소 범위를 구하십시오.
해설. 데이터는 2,2,2,5,5,8입니다. $\bar x=(3(2)+2(5)+1(8))/6=4$. 중앙값은 위치 3과 4의 평균인 $(2+5)/2=3.5$입니다. 최대값-최소값은 $R=8-2=6$입니다.
연습 2
위 모든 관측치가 $z=3x-4$만큼 변경되었습니다. 새로운 평균, 중앙값, 최대-최소 범위를 구하십시오. 계산하지 않고 표준편차가 어떻게 변하는지 서술하십시오.
해설. 평균은 $\bar z=3\bar x-4=3(4)-4=8$입니다. 중앙값은 $3(3.5)-4=6.5$입니다. 최대값-최소값은 $3(6)=18$입니다. 표준편차는 세 배가 되며, 4을 빼면 평균과의 거리는 변하지 않습니다.
연습 3
A = {0, 0, 10, 10}과 B = {0, 5, 5, 10}을 비교하십시오. 둘 다 최대-최소 범위가 10입니다. 표준편차가 반드시 같아야 합니까? 근거를 제시하십시오.
해설. 두 평균은 모두 5입니다. 모든 A 관측값은 평균으로부터 5만큼 떨어져 있으며, B의 거리들은 5,0,0,5입니다. 따라서 B는 제곱 편차의 평균이 작고 표준편차도 작습니다. 최대값-최소값만 같다는 것은 충분하지 않습니다.
한계 및 향후 활용법
빈도가 다를 때 서로 다른 범주 레이블을 평균내거나, 이동된 분포와 더 넓게 퍼진 분포를 혼동하지 마십시오.
이것들은 이 과정을 위해 작성된 원본 연습 문제이지 공식 시험 문제가 아닙니다.