범위 및 전제 조건
디지털 SAT 체계에 기반함. 이러한 종이 과제는 적응형이 아니며scaled score를 예측하지 않습니다.
- 이차방정식, 절댓값방정식, 유한방정식 및 근호방정식을 푸십시오
- 원방정식이나 영역에 위배되는 후보근 거절
- 직선과 비선형 곡선의 교점 찾기
필요 지식: 인수분해; 치환; 정의역 제한.
방법 설명 및 선택
Use structure before expanding. A factored quadratic equals zero when at least one factor is zero. An absolute-value equation |u|=a has no real solution for a<0, one condition u=0 when a=0 and two conditions u=±a when a>0. Account for all allowed cases, not just the positive branch.
유한식 방정식의 경우, 양변을 곱하기 전에 분모의 영수값을 제외해야 합니다. 양변을 곱하면 제외된 값에서 대안 해가 생성될 수 있습니다. 근호 방정식의 경우 주제곱근은 음이 아니므로 이를 단변에 두고 신중하게 제곱합니다. 모든 대안 해를 원래 식에 대입하여 검증할 때까지 제곱은 일방적 추론입니다.
직선-포물선 연립방정식을 풀 때는 선형 식을 2차 식에 대입합니다. 실수근이 x좌표를 주며, 선형을 사용하여 각 y값을 회복합니다. 실수근이 없으면 실수 교점이 없습니다. 중근(중복근)은 접선을 의미하고, 서로 다른 두 실수근은 두 개의 교점을 의미합니다.
그래프나 계산기는 후보 위치 확인 및 축scale 검토에 도움이 되지만, 문제가 정확한 값 또는 해의 개수를 묻는 경우 반올림된 교점은 엄밀한 증명이 아닙니다. 그래프적 성질을 대수적 방정식과 연결하십시오. 이중근을 서로 다른 두 쌍으로 두 번 세지 말아야 합니다.
후보 근은 원본 방정식을 만족해야 합니다. $\sqrt{x+6}=x$에서 우변은 음이 아니어야 한다. 제곱하면 $x^2-x-6=0$이 되므로, 후보는 $3,-2$입니다. 원본 검사를 통과하는 것은 오직 $3$뿐입니다: $\sqrt9=3$.
예제. √(x+2)=x는 x≥0여야 한다. 제곱하면 x²-x-2=0이 되어, x=2 또는 -1이 된다. 그러나 원본 방정식에서는 오직 2만이 유효하다. y=x+2와 y=x²인 경우, x²-x-2=0를 풀면 x=2, -1이 되어 (2,4) 및 (-1,1)를 얻는다. |2x-1|=5인 경우, 2x-1=5 또는 -5을 풀면 x=3 또는 -2이 된다.
연습 자료
아래 각 연습 문제에서는 필요한 모든 데이터를 명시하고 있습니다.
추론 연습
연습 1
실수 범위에서 $\sqrt{2x+3}=x$를 풀고, 왜 후보가 거절되는지 보여주세요.
논리. $x\ge0$을 요구한다. 제곱하면 $x^2-2x-3=(x-3)(x+1)=0$이 되며, 후보 해는 3과 -1이다. 원본 방정식에서 3에서는 $\sqrt9=3$이 나오지만, -1에서는 $\sqrt1=1\ne-1$이 나온다. 오직 $x=3$만이 유효하다.
연습 2
연립방정식 $y=x+2$과 $y=(x-1)^2$을 동시에 풀어주세요. 정확한 순서쌍을 제시하고 교점의 개수를 검증하십시오.
논리. 출력을 같게 하여 $x+2=x^2-2x+1$ 또는 $x^2-3x-1=0$을 얻는다. 따라서 $x=(3\pm\sqrt{13})/2$과 $y=(7\pm\sqrt{13})/2$는 부호가 일치한다. 판별식 13이 양수이므로 두 개의 서로 다른 실수 교점이 존재하며, 유도된 방정식에 의해 $y$에 대한 두 표현이 일치한다.
연습 3
방정식 $|3x+2|=7$과 $(x^2-9)/(x-3)=6$을 풀어주세요. 이 두 방정식이 왜 서로 다른 해의 개수를 가지는지 설명하십시오.
Reasoning. The absolute value gives $3x+2=7$ or $-7$, hence $x=5/3$ or $-3$. The rational equation requires $x\ne3$ and simplifies to $x+3=6$, whose sole candidate 3 is excluded. It has no solution.
한계 및 향후 활용법
변형된 방정식의 모든 근을 보고하기 전에 원본의 제한 조건과 분지 여부를 확인하지 마십시오.
이것들은 이 과정을 위해 작성된 원본 연습 문제이지 공식 시험 문제가 아닙니다.