범위 및 전제 조건
디지털 SAT 체계에 기반함. 이러한 종이 과제는 적응형이 아니며scaled score를 예측하지 않습니다.
- 값의 변화 없이 식을 인수분해하고 전개하기
- 원래 정의역 내에서 분수식 및 근호식을 단순화하기
- 식의 구조를 이용하여 영점과 계수를 파악하기
선행 지식: 분배법칙; 제곱의 차이; 실제 제곱근
방법 설명 및 선택
전개는 각 인수를 다른 인수들에 대해 분배하는 과정이며, 인수분해는 그 역과정입니다. x²-5x+6=(x-2)(x-3)이므로, 인수분해 형태는 영점을 드러내고 전개 형태는 계수를 드러냅니다. 질문의 목적에 맞는 형태를 선택하십시오. 어떤表现形式을 항상 더 선호해야 한다고 여겨서는 안 됩니다.
항(terms)이 아닌 인수(factor)만 약분하십시오. (x²-4)/(x-2)는 x≠2일 때만 x+2로 줄어듭니다. 원본 식은 x=2에서 정의되지 않기 때문입니다. 단순화된 식의 분모가 완전히 사라진 후에도 제한 조건이 남아 있을 수 있습니다. 약분 전에 이를 명시하고, 이후 비교나 방정식 풀이 과정에서 이를 유지하십시오.
Exponent rules depend on their setting: a^m a^n=a^(m+n) and (a^m)^n=a^(mn) in the permitted real domain. Negative exponents form reciprocals and require nonzero bases. With real square roots, √(x²)=|x|, because the principal square root is nonnegative; it is not x for every real x.
동치성을 검증할 때 수치 대입으로 오류를 발견할 수 있으나, 일치하는 값 하나만으로 두 식이 같음을 증명하지는 못합니다. 유효한 대수적 항등식과 일치하는 영역이 이를 보장합니다. 문제에서 계수를 구하도록 요청하면 필요한 만큼만 전개하고, 해당 차수에 기여하는 모든 성분을 고려해야 합니다.
등가식 等价表达式는 명시된 정의역에서 동일한 값을 가져야 한다. $E(x)=(x^2-25)/(x-5)=(x+5)$은 오직 $x\ne5$일 때만 성립합니다. 약분은 인수를 제거하지만, 배제된 입력값을 복원할 수는 없습니다. 또한 $\sqrt{x^2}=|x|$입니다. 주제곱근(주근호)은 음수가 될 수 없기 때문입니다.
*풀이 단계: (x²-25)/(x-5) → x ≠ 5 전까지 소거 금지 → x+5, 여전히 x ≠ 5
예제. (x²-9)/(x-3)=(x-3)(x+3)/(x-3)=x+3 (단, x≠3). x=3일 때 원래 식은 정의되지 않습니다. x=-5일 때, √(x²)=5=|x|. (2x+1)(x-4)에서 x의 계수는 -8+1=-7이며, 전체 식은 2x²-7x-4입니다.
연습 자료
아래 각 연습 문제에서는 필요한 모든 데이터를 명시하고 있습니다.
추론 연습
연습 1
$F(x)=(x^2-4x)/(x^2-16)$를 간소화합니다. 모든 원본 제한 조건을 명시하고, 왜 $F$이 후자 식의 전체 정의역에서 $x/(x+4)$과 동일하지 않은지 설명합니다.
추론. 분자를 $x(x-4)$로, 분모를 $(x-4)(x+4)$으로 인수분해합니다. 원본 정의역은 $x=4,-4$을 제외합니다. 약분하여 $x\ne4,-4$에 대해 $F(x)=x/(x+4)$을 얻습니다. 후자의 식만으로는 $4$도 허용되는데, 여기서 값은 $1/2$이고, $F(4)$는 정의되지 않습니다.
연습 2
$(3x-2)(x+5)$ 내에서의 $x$의 계수를 구하고, $x=1$일 때 $\sqrt{(x-5)^2}$의 값을 계산하십시오.
추론. 전개하면 $3x^2+15x-2x-10=3x^2+13x-10$이 되므로 계수는 13입니다. 근은 $|x-5|$이며, $x=1$에서는 $|-4|=4$이므로 $-4$이나 16가 아닙니다.
연습 3
한 학생이 $x=2$을 테스트하여 $x^2$과 $2x$가 동치라고 결론 지었습니다. 이 결론을 반박하고 실제로 일치하는 지점을 구하십시오.
추론. $x=3$에서 출력값은 9과 6이므로, 하나의 일치 테스트로는 증명이 될 수 없습니다. $x^2=2x$을 $x(x-2)=0$로 풀면, 오직 $x=0,2$만 남습니다.
한계 및 향후 활용법
단순화된 식이 반드시 더 큰 정의역에서 동일한 함수가 되는 것은 아니며, 덧셈을跨越하여 항을 소거하는 것은 유효하지 않습니다.
이것들은 이 과정을 위해 작성된 원본 연습 문제이지 공식 시험 문제가 아닙니다.