T.1 · Real analysis and topology

학부 GRE 준비. 검토된 ETS 범위 내의 로컬 목표; 이는 공식 시험이나 점수 예측기가 아닌 독자적 교육 과정입니다.

이수 전 필수 지식: 양자화된 명제, 부등식, 수열 및 연속 함수.

• 수열 및 함수의 극한 정의를 적용함
• 컴팩트성, 연결성 및 완전성을 구분함
• 거리 공간 및 기초 위상적 추론을 사용함

컴팩트: 모든 개개포는 유한 부분개포를 가진다.

최대하한: 집합의 최소 상한이다.

엡실론-델타 논리는 충분히 가까운 모든 입력을 통제한다. 양자자의 순서는 중요하다.

실수 유클리드 공간에서 닫힌 집합과 유계 집합은 컴팩트하다. 이 등가성을 모든 거리 공간에 적용해서는 안 된다.

컴팩트 집합의 연속 이미지는 컴팩트하므로, 컴팩트 도메인 위의 실수 연속 함수는 극값을 attainment 한다.

연결성은 비공집합 개부분의 분리(분할)를 배제한다. 연속성은 연결성을 보존하며, 완전성은 별도의 성질이다.

f(x)=x가 (0,1)에서 정의될 때, 이 함수는 연속하고 유계이지만 상한 1에 절대 도달하지 않습니다. 반면 [0,1]에서는 같은 함수가 1에서 최대값을 가집니다. 끝점의 부재가 왜 컴팩트 도메인 정리(Compact-domain theorem)가 첫 번째 경우에는 적용되지 않는지 설명해 줍니다.

정리의 결론은 전제 조건이 검증되기 전에 사용될 수 없다.

명시적인 epsilon-delta 선택을 사용하여 $f(x)=x^2$이 2에서 연속임을 증명하십시오. separately why it attains a minimum on $[1,3]$을 설명하십시오.

풀이 과정

$\epsilon>0$이 주어졌을 때, $\delta=\min(1,\epsilon/5)$을 선택하시오. 만약 $|x-2|<\delta$이라면, then $1<x<3$이므로, $|x+2|<5$이다.

선택은 엡실론에 의존하지, 나중의 입력 x에는 의존하지 않는다. 구간 $[1,3]$은 표준 실수 거리에서 비공집합이며 컴팩트하다. 연속성에 의해 극값이 attainment 된다. 여기에서 $x^2\ge1$, 즉 1에서 등호 성립하므로 최소값은 1이다.

보통 거리 metric space $X=(0,1)$에서 X는 유계입니까? X는 자기 자신 안에서 닫혀 있습니까? X는 컴팩트하거나 완결합니까? 하이네-보렐 정리가 여기서 사용될 수 없는 이유를 설명하십시오.

시도 후 확인

X는 유계이며 X 자체에 대해 닫혀 있습니다(X의 보집합이 비어 있으므로). 코시 수열 $1/(n+2)$이 X 내에서 극한을 가지지 않으므로 X는 완전하지 않으며, 따라서 컴팩트하지도 않습니다. 직접적으로, 상대 개피복 $\{(1/n,1):n\ge2\}$이 X를 덮지만 유한 부분 피복을 갖지 않습니다. Heine–Borel 정리는 유클리드 공간의 부분집합으로서 닫혀 있고 유계여야 함을 요구한다; X는 $\mathbb R$에서 닫혀 있지 않다. 한 정리의 전제 조건은 논증 중 간섭하여.metrics space를 바꿀 수 없다.