C.8 · Trigonometric phase and parametric curves

학부 GRE 준비. 검토된 ETS 범위 내의 로컬 목표; 이는 공식 시험이나 점수 예측기가 아닌 독자적 교육 과정입니다.

전제 지식: 라디안 삼각함수, 미분 및 곡선 매개변수화.

• 진폭, 각주파수, 위상각 및 수평 이동량을 구별하십시오.
• 매개변수를 제거하되 그 정의역과 tracing 방향을 유지하십시오.
• 매개변수 미분을 사용할 때 수직 접선이 정지 상태임을 가정하지 마십시오.

위상각: 주기 함수의 인자 내부의 각도 편차로, 전체 주기의 정수배를 modulo로 정의됩니다.

매개변수 곡선: 좌표가 공통 매개변수에 대한 함수로 정의된 곡선입니다.

For y=A cos(ωx−φ) with A>0 and ω>0, amplitude is A, period is 2π/ω, and horizontal shift is φ/ω. The phase angle φ is measured inside the cosine argument; it is not itself the horizontal shift unless ω=1. Start with peak-to-peak spacing for the period and midline-to-peak distance for amplitude. To find phase, substitute a known point and check the direction of motion there. Equivalent phases differ by 2π.

y=−2 cos(3x)를 양의 진폭 형태로 정리하면 2 cos(3x−π)가 됩니다. 이 모델의 진폭은 2, 주기는 2π/3, 위상은 π이며, 이에 대응하는 우측 이동량은 π/3입니다. 봉우는 3x−π이 2π의 배수가 되는 지점에 나타납니다. x=0이고 y=0인 그래프 상의 점 하나만으로는 위상을 고유하게 결정할 수 없으며, 기울기나 다른 점을 통해 가능한 각도를 구분해야 합니다. 단위와 각도 관례가 중요하며, 일반적인 미적분학의 삼각함수 미분은 라디안을 사용합니다.

매개변수 곡선은 x=x(t), y=y(t)를 지정합니다. t를 소거하면 점집합을 묘사하지만 제한 사항과 방향을 잃을 수 있습니다. x=cos³t, y=sin³t인 경우, 실수 세제곱근은 |x|^(2/3)+|y|^(2/3)=1를 주는데, 이는 축에 접점을 가진 아스트로이드입니다. t가 0부터 2π까지 변할 때 (1,0)에서 시작하여 π/2에서 (0,1)을 지나 반시계 방향으로 이동합니다. t를 [0, π/2]로 제한하면 첫 사분면 호만 얻으며 전체 암묵적 위치는 아닙니다.

When dx/dt≠0, dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt). A horizontal tangent generally requires dy/dt=0 and dx/dt≠0; a vertical tangent generally reverses those conditions. If both vanish, inspect a limit or the local expansion rather than taking 0/0 as a slope. For x=t²,y=t³ at t=0, the quotient for t≠0 is 3t/2 and tends to zero: the cusp has a horizontal tangent. A zero parameter velocity is not by itself a local maximum or minimum of y as a function of x.

y=−2 cos(3x)에서 극소점은 x=0에 포함되고 극대점은 x=π/3에 포함됩니다. 위상 표현 2 cos(3x−π)는 같은 값을 줍니다. x=2 cos t, y=sin t인 경우, 소거하면 x²/4+y²=1입니다. t=π/4에서 dx/dt=−√2이고 dy/dt=√2/2이므로, 경사는 −1/2입니다. 전체 매개변수 구간 [0,2π]는 타원을 한 번 반시계 방향으로 그립니다.

Phase angle and horizontal shift differ by the frequency factor. An implicit equation can add untraced parts of a curve. If both parameter derivatives vanish, use local reasoning instead of labelling every such point an extremum.

$y=-3\cos(2x)$에 대해 진폭, 주기, 양의 진폭 위상 표현 및 그에 대응하는 수평 이동량을 서술하십시오. 타원 $x^2/9+y^2/4=1$을 반시계 방향으로 매개변수화하십시오.

풀이 과정

진폭은 3이고 주기는 $2\pi/2=\pi$입니다. $y=3\cos(2x-\pi)$을 위상 $\pi$과 우측 이동량 $\pi/2$로 쓰십시오. 위상과 이동량은 동일하지 않습니다. 하나의 매개변수화는 $x=3\cos t,y=2\sin t$, $0\le t\le2\pi$이며, 이는 $(3,0)$에서 시작하여 초기에 위쪽으로 이동합니다. t를 소거하여 타원 방정식을 검증할 수 있습니다.

$x=t^2,y=t^3$에 대해 $-1\le t\le1$을 결정하고 t=0에서의 접선을 구하시오. 매개변수 속도의 소멸이 접선이 없음을 증명하는가? 암시식만으로는 전체 매개변수 제한이 유지되는가?

시도 후 확인

Elimination gives $y^2=x^3$, with $0\le x\le1$ and both signs of y. For t nonzero, $dy/dx=3t/2\to0$. The secant slope from the origin is $y/x=t\to0$ too, so the cusp has horizontal tangent. Both parameter derivatives vanish at zero, making the raw quotient $0/0$ inconclusive, not proving absence of a tangent. The unrestricted implicit equation also has points with x>1; the interval restriction must be carried separately.