1 · Numbers and the number system

4MA1 주제 1(규정 이슈 2, 11월 2017)는 자격증의 핵심인 수학입니다: 기초 수준 행 1.1–1.11은 정수와 네 가지 연산에서 시작하여 분수, 소수, 지수, 집합, 백분율, 비, 구간의 상한과 하한, 표준형으로 이어져 일상적인 수 계산에 적용됩니다; 고수준은 반복소수 변환, 근호, 대수적 집합, fractions, decimals, indices, sets, percentages, ratio, bounds and standard form to everyday number work; Higher adds recurring-decimal conversion, surds, algebraic sets, 주제 2024 필수 지식: supplied reverse percentage (2HR Q8), standard form (2HR Q9), the recurring-decimal proof (2HR Q18), upper-bound multiplication (2HR Q19), surds rationalisation (1HR Q17 family) and prime factors with Venn regions (1HR Q11 family).

주제 1 필수 지식:

정수는 양수, 음수, 0을 포함하며, 자리값은 각 자리의 수치를 명시합니다. 부호 있는 수는 실생활(기온, 채무, 해수면)에서 나타납니다. 부호 있는 수를 수직선 위에 배치하여 정렬합니다. puts them on the number line. The four rules with negatives: same signs add, different signs subtract, two negatives make a positive. Brackets, then indices, then 나누기/곱하기, 더하기/빼기 (BIDMAS): $3 + 4 \times 2^2 = 3 + 16 = 19$, 하지만 분수를 소수(나눔)와 백분율($(3 + 4) \times 2 = 14$을 곱함)로 변환합니다. 인수와 배수는 정수를 분류하며, 공인수와 공배수는 최대공약수(HCF)와 최소공배수(LCM)로 이어집니다.

동치분수는 약분하거나 통분합니다: $\tfrac{8}{12} = \tfrac23$. 혼합수와 진분수는 나눗셈과 나머지를 이용해 변환합니다. 공통분모를 사용하면 분수의 크기 ordering, 비교, 덧셈 및 뺄셈이 가능합니다: $\tfrac13 + \tfrac14 = \tfrac{4}{12} + \tfrac{3}{12} = \tfrac{7}{12}$. A 분수의 OF는 곱셈: $\tfrac34$의 48은 36; 하나의 수를 다른 수의 분수로 표현할 때 fraction of another divides ($7$ as a fraction of $28$ is $\tfrac14$). Multiplying fractions multiplies numerators and denominators; dividing multiplies by the reciprocal — unit fractions as multiplicative inverses ($\tfrac13$ undoes $3$). Fractions convert to decimals (divide) and percentages (multiply by 100).

Recurring decimals (Higher) convert by algebra: let $x = 0.306306\ldots$; then $1000x = 306.306\ldots$; subtracting, $999x = 306$, so $x = \tfrac{306}{999} = \tfrac{34}{111}$ (June 2024 2HR Q18). A terminating decimal is a fraction with denominator a power of ten.

Decimal place value runs tenths, hundredths, thousandths; ordering compares the highest-value digits first. Square numbers ($1, 4, 9, \ldots$), cube numbers ($1, 8, 27, \ldots$), their roots, and index notation with 양정수 지수의 곱셈 및 나눗셈 법칙: $2^3 \times 2^4 = 2^7$ and $2^7 \div 2^3 = 2^4$. Every integer factors into primes: $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$; June 2024 1HR Q11 가족은 큰 수를 소인수로 분해하고 products of regions from a Venn diagram ($19600 = 2^4 \times 5^2 \times 7^2$). The **최대공약수(HCF)**는 각 공통 소인수의 가장 작은 지수를 취합니다; 최소공배수(LCM) 모든 소인수의 가장 큰 지수를 취합니다: $360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$와 $84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$에 대해, HCF $= 2^2 \cdot 3 = 12$이고 LCM $= 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 2520$.

무리수는 정확히 표현된 무리근으로, 예로 $\sqrt2$가 있습니다. 제곱因数을 밖으로 빼내어 간소화합니다: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt2$, $\sqrt{ab} = \sqrt a\, \sqrt b$. Adding needs like surds: $3\sqrt2 + 5\sqrt2 = 8\sqrt2$, but $\sqrt2 + \sqrt3$는 간소화되지 않습니다.

**분모의 무리수 제거(Rationalising the denominator)**는 분자와 분모에 공변수(conjugate)를 곱하여 근호를 없애는 것입니다. 두 제곱의 차는 이를 정확하게 지워냅니다. 풀이 사례: bottom by the conjugate — a difference of two squares clears it exactly. Worked case: $\dfrac{5}{3 - \sqrt2} = \dfrac{5(3 + \sqrt2)}{(3 - \sqrt2)(3 + \sqrt2)} = \dfrac{5(3 + \sqrt2)}{9 - 2} = \dfrac{5(3 + \sqrt2)}{7}$; and $\dfrac{6}{\sqrt3} = \dfrac{6\sqrt3}{3} = 2\sqrt3$. June 2024 1HR Q17 family rationalises a denominator $2 - \sqrt3$이므로, $\tfrac{7(2 + \sqrt3)}{4}$ 배수인 것이 무리수를 정확하게 지워내기 때문입니다. $(2 - \sqrt3)(2 + \sqrt3) = 1$, the $(2 + \sqrt3)$ multiplier clears the surd exactly.

집합은 원소들의 모음입니다: $A = \{2, 4, 6, 8\}$. 표기법: $\cup$ (합집합, 두 집합 중 하나에 포함됨), $\cap$ (교집합, 두 집합 모두에 포함됨), $\in$ 및 $\notin$ (원소 포함). 전체집합 $\mathcal{E}$에는 논의 대상인 모든 것이 포함되어 있으며, 공집합 $\emptyset$에는 원소가 없습니다. 또한, 보집합 $A'$은 $\mathcal{E}$에서 $A$을 제외한 나머지 모든 요소를 포함합니다. 벤 그림 은 영역을 도식화하며, 고등 과정에서는 대수적 집합과 함께 부분집합 ($B \subset A$: every element of $B$ lies in $A$), the element count $n(A)$, and practical uses (polls, prime-factor regions). June 2024 1HR Q11 family places the prime factors of two numbers in a two-set Venn and reads products such as $AB$, $A^2$ and $B^2$ from combined regions — the HCF is the overlap's product, the LCM everything's product.

Percentage means parts per 100: $35\% = 0.35 = \tfrac{7}{20}$. Percentages act as 승수 역할을 합니다: $12\%$만큼 증가하면 $\times 1.12$가 되며, $20\%$만큼 감소하면 $\times 0.8$입니다. 역퍼센트는 최종 값을 승수로 나눕니다 — June 2024 2HR Q8: 감가 $17\%$ 후 가격 6225 루피인 냉장고의 원래 가액은 $\tfrac{6225}{0.83} = 7500$ 루피였습니다. 복리와 감가는 the multiplier repeatedly: $A = P\left(1 \pm \tfrac{r}{100}\right)^n$ — £2000 at 3% 4년 동안 합산된 금액은 $2000 \times 1.03^4 = £2251.02$가 되며; £12000짜리 자동차 15%의 감가상각으로 3년 후 $12000 \times 0.85^3 = £7369.50$로 감소합니다.

*20% 할인 후 20% 인상은 288이 되며, 이는 300이 아님: 두 번째 20% 증가는 기준이 240이기 때문임

비율은 부분을 비교하며, ($45 : 60 = 3 : 4$)로 나누어 약분하고 배분합니다. $\tfrac{\text{parts}}{\text{total}} \times \text{amount}$로 나누어 — £350을 배분할 때 비율 $2 : 5$에 따라 $\tfrac27 \times 350 = £100$과 $\tfrac57 \times 350 = £250$를 얻습니다. 비례는 수량 내외에서 비를 적용하며, 단위법으로 단위를 먼저 구합니다. 먼저 단위를 구함(7개 펜이 £4.20이므로 1개 펜은 £0.60이고, 12개 펜은 £7.20임); 수량 직접 비례에서는 수량이 같은 방식으로 변함($y = kx$). 단어 문제는 비율에 분수와 백수를 혼합하므로, 단위는 명확히 하고 답이 타당한지 확인하십시오. 단위는 명확히 하고 답이 타당한지 확인하십시오. 타당합니다.

정수는 10의 거듭제곱으로, 소수는 유효숫자 또는 소수점 places: $3.4617 \to 3.5$ (2 s.f.) and $3.46$ (2 d.p.). An accurate value carries bounds — 19 to the nearest whole means $18.5 \le v < 19.5$ — the **upper 상한선 19.5 및 하한선 18.5입니다. 근사값은 모든 숫자를 반올림하여 1 s.f. first: $\tfrac{4.12 \times 29.8}{0.187} \approx \tfrac{4 \times 30}{0.2} = 600$. 구간 문제(고급)에서는 질문에서 요구하는 극단값을 선택합니다 — June 2024 2HR Q19: 거리 $=$, 속도 $\times$, 시간과 속도는 정수 nearest rounding 시 $19$ km/h이므로 (따라서 UB $19.5$) 및 시간은 $1.5$ h로, 소수점 자리 1까지 반올림됩니다 (따라서 UB $1.55$): 거리의 상한은 $19.5 \times 1.55 = 30.2$ km (3 유효숫자)입니다.

Standard form writes $a \times 10^n$ with $1 \le a < 10$: $604000 = 6.04 \times 10^5$ and $0.00007 = 7 \times 10^{-5}$ (6월 2024 2HR Q9). 지수는 더함 표준형 수의 곱셈과 나눗셈 시 지수를 더하거나 빼며, 계산기의 $\times 10^{\wedge}$ 키는 연산 결과를 정확하게 유지합니다.

일상적인 수 — 돈, 시간표, 측정치 —는 단위가 포함된 동일한 연산을 사용합니다. 부속. 표준 단위: 질량(kg, g), 길이(km, m, cm, mm), 면적, 부피, 시간 (초부터 년까지, 12- 및 24-시간제 시계) 및 이들 간의 변환 ($1\ \text{m}^2 = 10^4\ \text{cm}^2$; $1\ \text{litre} = 1000\ \text{cm}^3$). A 과학용 계산기는 연산 순서를 올바르게 적용하지만 — 조기에 반올림하면 정확도가 떨어집니다: 전체 연산 과정에서는 완전한 정밀도를 유지하고 최종 답안만 요청된 정확도로 반올림하십시오.

• 정수, 순서, 방향 수, 사칙연산, BIDMAS, 홀수/짝수, 소수, 약수와 배수 (F 1.1 A–H).
• 동분수, 이단분수, 통분, 양의 분수, 역수, FDP 변환 (F 1.2 A–H).
• 대수를 이용한 주기소수를 분수로 변환 (H 1.3 A; 6월 2024 2HR Q18).
• 소수: 자릿값, 순서, 유한소수를 분수로 변환 (F 1.3 A–E).
• 제곱, 세제곱, 근, 지수 법칙, 소인수분해, 최대공약수(GCF)와 최소공배수(LCM) (F 1.4 A–E; 6월 2024 1HR Q11 일괄).
• Surds: simplifying, adding like surds, rationalising with conjugates (H 1.4 A–B; June 2024 1HR Q17 family).
• 집합: 기호, 전집/공집합/보집, 벤 다이어그램; 고등 수준 집합, n(A), 대수적 및 실습 집합 (F 1.5 A–E, H 1.5 A–D).
• 백분율: 곱수, 백분율 계산, 증가/감소, 역구하기, 복리 및 감가상각 (F 1.6 A–G, H 1.6 A–B; 6월 2024 2HR Q8).
• 가장 간단한 형태의 비, 배분, 직접 비례, 단어 문제 (F 1.7 A–E).
• 10의 거듭제곱에 대한 반올림, 유효숫자 및 소수점 아래 자리 수; 경계 식별 및 경계 문제에서 적절한 극값 선택; 유효숫자 1을 이용한 추정 (F 1.8 A–D, H 1.8 A; 6월 2024 2HR Q19).
• 표준형 변환 및 산술 (F 1.9 A, H 1.9 A; 6월 2024 2HR Q9).
• 일상적인 수, 표준 단위 및 변환, 시간 계산, 계산기 사용 규칙 (F 1.10 A–C, F 1.11 A).

경계 참고사항: 분수, 음수 및 0 지수는 곱하기 및 나눗셈 법칙을 넘어선 주제 2에 속합니다; 비례 그래프는 주제 2과 4에 속합니다; 복리 복합 단위(속도, 밀도, 압력)는 주제 4에 속합니다. 기초 과정 지원자는 Foundation rows only. Worked examples are adapted from the reviewed June 2024 papers 또는 원본이며, 표기가 없는 한 시트 질문은 모두 원본입니다.