P3 · Pure Mathematics 3

순수 수학 3 (P3)은 P1 및 P2을 확장한 것으로, 유리함수 역함수, 절댓값, 합성 변환, 역삼각함수 및 조화 형태, 로그-그래프 모델 적합, 미분의 전체 규칙, 식별을 통한 적분, 그리고 수치 방법. P1 P2 지식을 전제로 하며, WMA13/01 시험지(1시간 30분, 75점)에서 출제될 수 있습니다. (동일한 계산기 및 공식집 사용 규칙 적용). 점; 동일한 계산기 및 공식집 규칙).

P3에서 반드시 알아야 할 공식 (공식집에 없음):

Simplify rational expressions by factorising and cancelling; algebraic division serves denominators up to quadratics. Only cancel factors, never terms.

A function is a one-one or many-one mapping; its domain is the allowed inputs and its range the outputs. The composition $fg$ means "do $g$ first, then $f$". The inverse $f^{-1}$ undoes $f$ (it exists where $f$ is one-one), and $f^{-1}f(x) = ff^{-1}(x) = x$; $f^{-1}$의 그래프는 $f$의 그래프를 $y = x$에 대해 대칭이동합니다.

Worked example — inverse and composition (adapted from Edexcel IAL WMA13 June 2025 Q1). $f(x) = \dfrac{2x}{3x + 1}$, $x \ge 0$.

(a) Range of $f$.

• At $x = 0$: $f(0) = 0$; as $x \to \infty$: $f(x) \to \tfrac23$ from below, and $f$ is increasing (larger $x$ gives larger $f(x)$).
  $$0 \le f(x) < \tfrac23$$

(b) $f^{-1}(x)$를 구하시오.

• $y = \dfrac{2x}{3x+1}$를 대입하고 $x$에 대해 풀이하십시오:
  $$y(3x + 1) = 2x \implies 3xy + y = 2x \implies x(3y - 2) = -y \implies x = \frac{y}{2 - 3y}$$
  $$f^{-1}(x) = \frac{x}{2 - 3x}$$
• Check: $f\!\left(\tfrac{x}{2-3x}\right) = \dfrac{2x/(2-3x)}{3x/(2-3x) + 1} = \dfrac{2x}{3x + 2 - 3x} = x$ ✓.

(c) $f^{-1}(x) = f(x)$를 풀이하시오.

• 확인: $f(\tfrac13) = \tfrac{2/3}{2} = \tfrac13 = f^{-1}(\tfrac13)$ ✓.

The modulus $|x|$ is $x$ for $x \ge 0$ and $-x$ for $x < 0$: $y = |ax + b|$ is the line $y = ax + b$ with its negative part reflected above the axis. Given $y = f(x)$, sketch $y = |f(x)|$ (reflect any below-axis part) and $y = f(|x|)$ (keep the right half, reflect it left). Solve modulus equations graphically or by cases, testing each solution.

합성 변환은 P1 규칙들을 함께 적용하는 것으로, 예를 들어 $y = 2f(3x)$이나 $y = f(-x) + 1$에서 확장(scale)은 곱해지고, 평행이동(translation)은 이동합니다. 교과의 순서는 $y = af(x)$, $y = f(x) + a$, $y = f(x+a)$, $y = f(ax)$를 하나의 식에 합성한 것입니다 ($y = f(ax+b)$ 처럼 개별적으로 요구하지는 않습니다).

풀이 예제 — 절댓값 방정식 (교과의 자체 예제). $|2x - 1| = x + 5$을 풀이하십시오.

• Case $2x - 1 \ge 0$ ($x \ge \tfrac12$): $2x - 1 = x + 5 \implies x = 6$ ✓ ($x \ge \tfrac12$을 만족함).
• Case $2x - 1 < 0$: $-(2x - 1) = x + 5 \implies -3x = 4 \implies x = -\tfrac43$ ✓ ($< \tfrac12$).
• 두 해법 모두 $x = 6$과 $x = -\tfrac43$입니다. 확인: $|2(6) - 1| = 11 = 6 + 5$ ✓; $|-\tfrac83 - 1| = \tfrac{11}3 = -\tfrac43 + 5$ ✓.

역함수:

이들은 $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$과 $\operatorname{cosec}^2\theta \equiv 1 + \cot^2\theta$의 항등식을 가집니다. 분모 함수가 0이 되는 지점에서 그래프에 점근선이 나타납니다. 역함수 $\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$은 제한된 정의역을 가집니다: $\arcsin: [-1, 1] \to [-\tfrac\pi2, \tfrac\pi2]$, $\arccos: [-1,1] \to [0, \pi]$, $\arctan: \mathbb{R} \to (-\tfrac\pi2, \tfrac\pi2)$.

조화형: $a\cos\theta + b\sin\theta = R\cos(\theta - \alpha)$ 형태를 가지며, $R = \sqrt{a^2 + b^2}$과 $\tan\alpha = \dfrac ba$ — 하나의 수와 하나의 각도, 최대값 구하기 또는 방정식 풀이에 적합합니다. or solve.

해설 예제 — 조화형 (Edexcel IAL WMA13 June 2025 Q2 수정). 다음을 $f(x) = 7\cos x - 24\sin x$를 $R\cos(x + \alpha)$, $R > 0$, $0 < \alpha < 2\pi$ 형태로 표현하십시오.

• $R = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{625} = 25$.
• $R\cos(x + \alpha) = R\cos x\cos\alpha - R\sin x\sin\alpha$를 전개하고 계수를 비교합니다: $25\cos\alpha = 7$ 및 $25\sin\alpha = 24$이므로, $\tan\alpha = \tfrac{24}{7}$ 및
  $$\alpha = 1.287 \ (3\ \text{d.p.}) \qquad f(x) = 25\cos(x + 1.287)$$
• 확인: $25\cos(0 + 1.287) = 25(0.28) = 7.0$ ✓ 및 $-25\sin(1.287) = -24.0$ ✓.

해설 예제 — 항등식 증명 (Edexcel IAL WMA13 June 2025 Q8a 수정). 다음을 증명하십시오: $\tan 3x \equiv \dfrac{3\tan x - \tan^3 x}{1 - 3\tan^2 x}$.

• $3x = 2x + x$을 쓰고 합각 공식을 적용합니다:
  $$\tan 3x = \frac{\tan 2x + \tan x}{1 - \tan 2x\tan x}, \qquad \tan 2x = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} = \frac{2t}{1 - t^2} \ (t = \tan x)$$
• 대입:
  $$\tan 3x = \frac{\frac{2t}{1-t^2} + t}{1 - \frac{2t^2}{1-t^2}} = \frac{2t + t(1 - t^2)}{(1 - t^2) - 2t^2} = \frac{3t - t^3}{1 - 3t^2} \qquad \blacksquare$$
• Check at $x = \tfrac\pi6$ ($t = \tfrac1{\sqrt3}$): numerator $\tfrac{3}{\sqrt3} - \tfrac{1}{3\sqrt3} = \tfrac{8}{3\sqrt3}$; denominator $1 - 1 = 0$ — and $\tan\tfrac\pi2$는 정의되지 않음 ✓ 일관됨.

$y = e^x$은 $(0, 1)$을 지나며 무한히 증가합니다; 역함수인 $\ln x$의 정의역은 $x > 0$과 $y$축(점근선)입니다. $e^{ax+b} = p$을 $\ln$을 취하여 풀고, $\ln(ax + b) = q$을 지수화하여 구합니다.

로그-그래프 모델: $y = ax^n$에 대해 로그를 취하면 $\log y = n\log x + \log a$이 됩니다 — $\log y$을 $\log x$에 대해 그래프로 그리면 기울기가 $n$이고 절편이 $\log a$인 직선이 나옵니다. 또한, $y = kb^x$에 대해 $\log y$을 $x$에 대해 그래프로 그리면 기울기는 $\log b$, 절편은 $\log k$입니다.

풀이 예제 — 지수 법칙 복원하기 (Edexcel IAL WMA13 June 2025 Q3에서 변형). A $\log_{10}y$–$\log_{10}x$ 직선이 $(-3.5, 0)$과 $(0, -2)$을 지납니다. $y$을 $px^q$로 표현하십시오.

• 기울기: $\dfrac{0 - (-2)}{-3.5 - 0} = -\dfrac47$; 절편 $-2$:
  $$\log_{10} y = -\tfrac47\log_{10}x - 2$$
• 변환: $y = 10^{-\frac47\log_{10}x - 2} = 10^{-2}\,x^{-4/7}$이므로,
  $$y = \frac{1}{100}\,x^{-4/7} \qquad (p = \tfrac{1}{100},\ q = -\tfrac47)$$
• 직선 위의 점으로 확인: $\log_{10}x = 0 \Rightarrow x = 1$, $\log_{10}y = -2 \Rightarrow y = \tfrac{1}{100}$ ✓ and the formula gives $y = \tfrac{1}{100}\cdot 1 = \tfrac{1}{100}$ ✓.

해설 예제 — 지수 감쇠 모델 (Edexcel IAL WMA13 June 2025 Q6 수정). A 프로세서는 $\theta = 21 + Ae^{-kt}$ ($\theta$°C, $t$분)로 냉각되며, 시작 시 75 °C이며, 5분 후 25 °C에 도달합니다. $A$, $k$을 구하고 온도가 9 °C per minute로 떨어지는 시간을 구하십시오.

• $t = 0$ 지점: $75 = 21 + A$이므로 $A = 54$입니다.
• $t = 5$ 시: $25 = 21 + 54e^{-5k} \implies e^{-5k} = \tfrac{4}{54} = \tfrac{2}{27}$:
  $$-5k = \ln\tfrac{2}{27} \implies k = \tfrac15\ln\tfrac{27}{2} = 0.521 \ (3\ \text{s.f.})$$
• 비율: $\dfrac{d\theta}{dt} = -54ke^{-kt}$; $-9$과 같게 설정됨:
  $$e^{-kt} = \frac{9}{54 \times 0.521} = \frac{9}{28.13} \implies T = \frac{\ln(28.13/9)}{0.521} = 2.19 \ (2\ \text{d.p.})$$
• 초기 값은 75 °C이고, 장기적 하한선은 21 °C입니다.
• 확인: $T = 2.19$ 시에 $\theta = 21 + 54e^{-0.521(2.19)} = 21 + 54(0.320) = 38.3$ °C로 감소 중 $28.13 \times 0.320 = 9.0$ °C/min ✓. 모델의 하한선은 21 °C(실온) — 큰 $t$ 값에 합리적입니다.

$\sin kx$, $\cos kx$, $\tan kx$ ($\to k\sec^2 kx$), $e^{kx}$, $\ln kx$을 미분하고 ($\to \tfrac1x$)를 더하거나 빼십시오.

세 가지 규칙이 적용 범위를 확장합니다: 곱의 미분법, 나머의 미분법 그리고 연쇄 법칙입니다.

$\sec x \to \sec x\tan x$, $\operatorname{cosec} x \to -\operatorname{cosec} x\cot x$, $\cot x \to -\operatorname{cosec}^2 x$은 다음에서 유도됩니다: 나머의 미분법입니다. 암미분에서는 $\dfrac{dy}{dx} = 1 \div \dfrac{dx}{dy}$ when $x$ is given in terms of $y$를 사용합니다.

작은 예제 — 곱과 연쇄 법칙 함께 사용 (지정된 예시에서). $e^{-x^2}\sin 3x$를 미분하십시오 (Edexcel IAL WMA13 6월 2025 Q7에서 변형함).

• 곱의 미분법을 사용하여 $u = e^{-x^2}$ (연쇄: $u' = -2xe^{-x^2}$)와 $v = \sin 3x$ ($v' = 3\cos 3x$):
  $$\frac{dy}{dx} = -2xe^{-x^2}\sin 3x + 3e^{-x^2}\cos 3x = e^{-x^2}\big(3\cos 3x - 2x\sin 3x\big)$$
• $x = 0$ 시 확인: 도함수 $= 1 \times (3 - 0) = 3$이며, $0$ 근처에서 곡선은 기울기 3인 $\sin 3x$처럼 거동함 ✓.

표준 형태를 직접 적분하고, 인식 형태 (적분 기호 $f'$ 내의 식 식별)를 사용하세요:

삼각함수 항등식을 사용하여 $\sin^2 x$, $\cos^2 x$, $\tan^2 x$를 적분 가능한 형태로 변환합니다. ($\cos 2A \equiv 1 - 2\sin^2 A$, $\cos 2A \equiv 2\cos^2 A - 1$; $\tan^2 \equiv \sec^2 - 1$).

작은 예제 — 항등식 우선 (Edexcel IAL WMA13 6월 2025 Q5에서 발췌). 다음을 구하십시오. $\displaystyle\int\sin^2 3x\,dx$.

• 이중 각도 공식을 $A = 3x$에 적용하면: $\cos 6x \equiv 1 - 2\sin^2 3x$이므로, $\sin^2 3x = \tfrac12(1 - \cos 6x)$가 됩니다:
  $$\int \sin^2 3x\,dx = \tfrac12\int(1 - \cos 6x)\,dx = \tfrac12\left(x - \tfrac16\sin 6x\right) + c = \frac{x}{2} - \frac{\sin 6x}{12} + c$$
• 미분하여 확인: $\tfrac12 - \tfrac{6\cos 6x}{12} = \tfrac12(1 - \cos 6x) = \sin^2 3x$ ✓.

작은 예제 — 인식. $\displaystyle\int \frac{6x}{3x^2 + 4}\,dx$를 구하십시오.

• 분자는 분모의 미분값입니다 ($f' = 6x$, $f = 3x^2 + 4$):
  $$\int\frac{6x}{3x^2+4}\,dx = \ln\lvert 3x^2 + 4\rvert + c$$
• 확인: $\dfrac{d}{dx}\ln(3x^2+4) = \dfrac{6x}{3x^2+4}$ ✓. 지수 형태 역시 동일한 방식으로 작동합니다: $u = 3x^2 + 4$과 $du = 6x\,dx$이 있을 때,
  $$\int x\,(3x^2+4)^4\,dx = \tfrac16\int u^4\,du = \frac{(3x^2+4)^5}{30} + c$$
  and differentiating $\dfrac{(3x^2+4)^5}{30}$ gives $\dfrac{5(3x^2+4)^4 \cdot 6x}{30} = x(3x^2+4)^4$ ✓.

• 부호 변화: 함수 $f$가 구간 $[a, b]$에서 $f(a)f(b) < 0$까지 연속일 경우, 근은 두 값 사이에 존재합니다. $a$과 $b$ 사이입니다. 구간을 반으로 나누어 원하는 정밀도로 근을 결정할 수 있습니다.
• 반복법: 시작값에서 시작하는 변형된 방정식 $x_{n+1} = f(x_n)$은 고정점(또는 그렇지 않을 수도 있음)으로 수렴하거나 수렴하지 않습니다. 반드시 부호 변화 경계값과 대조하여 확인해야 합니다.

해설 예제 — 위치 확인 및 반복 (Edexcel IAL WMA13 June 2025 Q7에서 변형). 이 $y = e^{-x^2}\sin 3x$의 정지점 중 $x = 0.4$ 근처에 있는 것은 $x = \tfrac13\arctan\tfrac{3}{2x}$를 만족합니다.

(a) $x_1 = 0.4$일 때:

• 반복법이 수렴함을 확인: $|x_3 - x_2|$이 작고 값들이 0.43로 수렴해 갑니다 ✓. (b) 근이 소수점 아래 3 자리까지 0.430임을 보여주세요: $g(x) = x - \tfrac13\arctan\tfrac{3}{2x}$를 정의하십시오. (또는 위worked example의 도함수 식):
  $$g(0.4295) = -1.1 \times 10^{-3} < 0 \qquad g(0.4305) = +6.4 \times 10^{-5} > 0$$
• $g$은 연속이며, 0.4295과 0.4305 사이에서 부호 변화가 있어 근을 포함하므로, 그 근 이는 소수점 이하 0.430자리까지 3임. ✓.

• 유리식을 단순화하고; 약분하기 전에 인수분해하며; 선형 또는 이차 약수로 나눕니다.
• 정의역, 치역, 합성 및 역함수를 다루며; 합성을 통해 $x$로 역함수를 검증합니다.
• 부등식 방정식을 경우별로 스케치하고 풀며 검산을 합니다; 하나의 그래프 위에 두 변환을 결합합니다.
• sec, cosec, cot 및 해당 항등식을 사용하며; 역함수의 제한된 정의역을 알아야 합니다.
• $a\cos\theta + b\sin\theta$를 $R\cos(\theta \pm \alpha)$로 변환하여 극대값을 읽고 풀이합니다.
• 합동각 및 배각 항등식을 증명하고; 이를 앞뒤로 활용합니다.
• $e^{ax+b} = p$과 $\ln(ax+b) = q$을 풀고; 로그 그래프에서 $y = ax^n$과 $y = kb^x$을 복원합니다.
• 곱의 미분법, 분율의 미분법 및 연쇄 법칙을 사용하여 미분하며, $\sec/\operatorname{cosec}/\cot$도 포함합니다; 사용 $\frac{dy}{dx} = 1 \div \frac{dx}{dy}$.
• 성장 및 감쇠를 모델링하고, 초기 값과 장기적 하한을 해석하며; 모델을 비판합니다.
• 표준 적분형을 적분하고; $\int f'/f$과 $\int f'(f)^n$을 파악하며; 제곱된 삼각함수에 대해 항등식을 사용합니다.
• 부호 변화와 연속성 명제를 사용하여 근을 위치시키고, 반복법을 실행 및 검산합니다.