S1 · Statistics 1

역학 2 (M2, 시험지 WME02/01, 1시간 30분, 75점, 첫 평가 6월 2020) 은 M1: P1–P4 및 M1를 전제로 하는 IAL 적용 단위. $g = 9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}$을 사용하십시오. 문제의 모델이 다름을 명시하지 않는 한 (6월 2025 문제 중 하나는 10을 사용함). 이 참고 자료 가변 가속 운동, 질량 중심, 일, 에너지 및 출력, 반발 계수가 있는 충돌에 대한 것입니다. 반발 계수가 있는 충돌 및 강체의 정역학입니다.

M2 필수 지식 (북에는 포함되지 않음):

가속도가 시간의 함수일 경우, 적분한다: $v = \int a\,dt$ 및 $s = \int v\,dt$, 다음을 사용하여 초기 조건에 의해 고정된 상수("O에서 정지"는 둘 모두 소거함). 총 이동 거리(DISTANCE)에는 입자가 방향을 바꿀 때, 정지 시간($v = 0$)을 구하고 두 구간을 더한다. 위치 벡터는 성분을 개별적으로 미분한다: $\mathbf v = \tfrac{d\mathbf r}{dt}$, $\mathbf a = \tfrac{d\mathbf v}{dt}$.

풀이 예제 — 트랩 적분 (WME02 June 2025 Q1). 다음을 사용하여 $a = k(3 - t^2)$ O에서 정지하고 $v(1.5) = 13.5$: $v = k(3t - \tfrac{t^3}3)$ (상수 0은 정지에 의해), 그리고 $k(4.5 - 1.125) = 3.375k = 13.5$이 $k = 4$을 줍니다. 그러면 $s = 6t^2 - \tfrac{t^4}3 = \tfrac{t^2}3(18 - t^2)$. O로 돌아오는 총 거리에 대해: $v = \tfrac{4t}3(9 - t^2) = 0$ $t = 3$에서, $s(3) = 27$이므로 입자는 이동합니다 $27 + 27 = 54$ m — 복귀 구간은 두 번째 27이며, 감산이 아닙니다.

풀이 예제 — 벡터 속도 이후 충력 (WME02 June 2025 Q2). 다음을 사용하여 $\mathbf r = 4\sqrt t\,\mathbf i - 3t\mathbf j$ (미터, $t$ 초), 질량 3 kg: $\mathbf v = \tfrac{d\mathbf r}{dt} = 2t^{-1/2}\mathbf i - 3\mathbf j$, 따라서 $t = 4$ 시에 속도는 $\mathbf i - 3\mathbf j$입니다. 충격량 $(6\mathbf i - 3\mathbf j)$ N s를 가하면 $3(\mathbf v' - (\mathbf i - 3\mathbf j)) = (6\mathbf i - 3\mathbf j)$이므로, $\mathbf v' = 3\mathbf i - 4\mathbf j$이 되며 속도는 $5\ \mathrm{m\,s^{-1}}$이다 — 먼저 미분한 후, 지시된 순간인 두 번째에 충력을 적용한다. 먼저, 주어진 시간인 두 번째 시점에 충격을 가합니다.

입자에 대해: 질량 중심은 $\bar x = \dfrac{\sum mx}{\sum m}$입니다. 균일한 물체에 대해서는 표 방법을 사용하십시오— 중심이 알려진 조각으로 나누세요(교재: 원호 선망 $\tfrac{2r}\pi$, 원호 판면 $\tfrac{4r}{3\pi}$, 부채꼴, 호). 각 조각에 질량(MASS)을 곱하세요(판면: 면적; 선망: 길이), 편리한 직선을 기준으로 모멘트를 취하십시오. 직선의 반대편에 있는 조각은 반대 부호를 가집니다. 합성 판은 구멍을 음의 면적으로 빼서 계산합니다.

해설 예제 — S자형 선망 구조물(WME02 June 2025 Q3). 두 개의 원호 선망 호 AB(반지름 $2a$)와 CD(반지름 $a$)가 모두 O를 중심으로 직선 ACDB 양측에 위치함 ($AC = DB = a$). 표(직선 AB 기준):

총 길이 $(3\pi + 2)a$; 모멘트 합 $6a^2$; 따라서 질량 중심은 AB로부터 $\dfrac{6a}{3\pi + 2}$ 거리입니다. A에서 걸었을 때 E가 호 위에 있으며 $\angle AOE = 90°$인 경우: 대칭선 OE가 G를 지나므로 $\tan\angle OAG = \dfrac{3}{3\pi+2}$이며, 또한 $OA = OE$이 $\angle OAE = 45°$를 이루므로 수직선 아래 AE의 각도 $\theta$는 다음을 만족합니다: $\theta = 45° - \angle OAG$를 제공하여 $\tan\theta = \dfrac{3\pi - 1}{3\pi + 5}$이 됩니다.

자유로이 매달린 물체는 중심이 지점의 수직 아래에 오도록 걸립니다. 요구되는 각도는 보통 물체의 그어린 현과 수직 사이의 각도입니다: 중심점 COM 거리로 직각 삼각함수를 사용하여 지지점의 각도를 구하고, 이후 기하학적 각도(등변삼각형은 표준적으로 45°, 60°에 해당)로 조정한다.

일을 하는 일정한 힘: $Fs$ 방향(반대 방향일 경우 부호를 반대로 함); 중력이 $\pm mgh$를 한다. 일-에너지 정리: 총 일 = 운동 에너지의 변화량. 기계적 에너지 보존: 에너지는 중력만이 일을 할 때 보존되며, 저항은 $-Rs$ 일로 유입된다. 출력 $P = Fv$: 일정 속력에서 구동력은 저항과 중력 성분을 상쇄하므로, $v = \tfrac PF$; 주어진 속력에서 남은 힘은 가속도를 발생시킨다.

해설 예제 — 경사면 위 자동차 (WME02 6월 2025 Q4). 750 kg 자동차가 경사면을 오르는 데 $\sin\alpha = \tfrac17$, 저항 200 N, 엔진 출력 20 kW. 일정 속력: $\tfrac{20000}V = 750(9.8)\tfrac17 + 200 = 1250$, 따라서 $V = 16\ \mathrm{m\,s^{-1}}$. 지점에서 $10\ \mathrm{m\,s^{-1}}$: $2000 - 1250 = 750a$이므로 $a = 1\ \mathrm{m\,s^{-2}}$입니다. 엔진 정지 A점에서 $10\ \mathrm{m\,s^{-1}}$: 일-에너지 법칙에 의해 $\tfrac12(750)(100) = 750g(d\sin\alpha) + 200d$, 즉, $37500 = 1250d$ 및 $d = 30$ m — 저항력은 경사 거리 $d$에 작용하며, 중력은 높이 $d\sin\alpha$에 대해 작용합니다.

해설 예제 — 에너지로 해결하는 포물선 운동 (WME02 6월 2025 Q7). 포물선 궤적 위의 포물선 운동체가 O 지점을 지나 포물선 궤적 위에서 O에서 출발하여 $20\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ ($g = 10$)일 때 수직 성분이 $V$이고 높이가 11 m일 때 수평 성분 $2V$. 에너지: $200 = \tfrac12(V^2 + 4V^2) + 110$, 따라서 $V = 6$ (성분 6 및 12). 수평면에 $60°$ 각도로 수직으로 부딪히므로 속도는 $30°$입니다: 속도 $= \tfrac{12}{\cos30°} = 8\sqrt3$, 그리고 O로부터의 에너지에 의해 $200 = \tfrac12(192) + 10H$, 따라서 $H = 10.4 \to 10$ m (유효숫자 2개).

뉴턴의 실험 법칙인 반발 계수: $e = \dfrac{v_B - v_A}{u_A - u_B}$ (분리 속도 대비 접근 속도, $0 \le e \le 1$; $e = 1$ 탄성, $e = 0$ 부딪혀 붙음). 운동량 보존에 의해, 두 방정식을 통해 모든 정면 충돌을 풀 수 있다. 운동 에너지 손실은 항상 $(1 - e^2)$과 인분된다: 각자의 운동량 변화에서 유래한다. 고정된 벽에 의한 반사 속력은 $= \tfrac{m_Am_B}{2(m_A+m_B)}(1-e^2)(u_A - u_B)^2$배로 고유 운동량 변화에서 기인한다. 고정 벽에서의 반발은 속도를 $e$배로 변경한다.

풀이 예제 — 전체 충돌 이야기 (WME02 6월 2025 Q5). P (질량 $2m$, 속도 $u$) $m$. 풀면: $e$, $2u = 2v_P + v_Q$. 이후 운동 에너지는 $eu = v_Q - v_P$이므로, 손실량은 $v_Q = \tfrac{2(1+e)u}3$ — 즉 인수 $v_P = \tfrac{(2-e)u}3$이다. Q에 가해진 충격량이 $\tfrac{mu^2}3(2 + e^2)$이라면: $\tfrac{mu^2}3(1 - e^2)$에 의해 $k = \tfrac13$이 된다. Q에 가해지는 충격량이 $\tfrac89mu$인 경우: $m\cdot\tfrac{2(1+e)u}3 = \tfrac{8mu}9$은 $e = \tfrac13$을 줍니다. 그 후 Q는 반발 계수 $f$로 벽에서 반발하여 P의 속도 $\tfrac59u$과 일치한다: $f\cdot\tfrac89u = \tfrac59u$, 따라서 $f = \tfrac58$입니다.

남은 속력을 다음 충돌에 그대로 적용하되, 문제에서 연결된 양들만 등식으로 두기만 하면 된다 다음 충돌로 이어지는 잔존 속도를 고려하고, 문제에서 연결된 양만 등식으로 두라 ("같은 속도", "정지 상태"). 벽에서의 반발은 방향을 뒤집고 속도를 $e$배로 조정하며, 각 단계마다 부호를 명시한 도표를 유지하라.

평형 상태인 경직체는 임의의 점에 대해 합성력이 영이고 합성 모멘트도 영이어야 한다. 점. 미지수를 없애기 위해 회전점을 선택한다(매끄러운 레일의 단일 미지수 반력 때문에 바닥 접점에서의 모멘트를 계산하면 유리하다. 수평 및 수직 성분을 분해하여 접촉력을 구하되, 거친 바닥에서 한계 평형 상태일 때 마찰력 $F = \mu R$이 $F$수평 direction을 따른다.

작업 예시 — 매끄러운 레일 위 막대 (WME02 June 2025 Q6). 균일 막대 AB (질량 $m$, 길이 $2a$)가 거친 바닥에 A가 닿고 매끄러운 레일 C에 기대어 있으며, $AC = 1.5a$, 기울기 $\theta$, 레일의 법선 반력 $S$이 막대에 수직이다. A에 대한 모멘트: A: $S(1.5a) = mg\,a\cos\theta$, 따라서 $S = \tfrac{2mg\cos\theta}3$. 수직으로: $V = mg - S\cos\theta = \tfrac{mg}3(3 - 2\cos^2\theta)$. 한계 평형 조건에서 $\mu = \tfrac47$: $F = S\sin\theta$, 따라서 $\tfrac47\cdot\tfrac{mg}3(3 - 2\cos^2\theta) = \tfrac{2mg}3\cos\theta\sin\theta$. 나누면 $\cos^2\theta$이며 $\sec^2\theta = 1 + \tan^2\theta$를 사용하면: $12\tan^2\theta - 14\tan\theta + 4 = 0$, i.e. $6\tan^2\theta - 7\tan\theta + 2 = 0$.

• 초기 조건으로부터 상수를 결정하며 $a(t)$을 $v$와 $s$까지 적분하고, 전이점을 통해 총 거리 처리; $\mathbf r(t)$을 미분하여 벡터 속도를 구하고 충격을 $\mathbf I = m\Delta\mathbf v$로 적용하라.
• 질량/면적/길이 가중치를 고려한 COM 표를 만듭니다(반대편 조각은 음의 거리, 구멍은 음의 값 사용); 책자의 와이어 및 판 결과물을 활용합니다; 현수점에서의 삼각함수로 현수 각도를 구하고 등변삼각형의 각도를 추가합니다.
• 일-에너지 정리와 기계적 에너지 보존 법칙을 적용합니다; 경사 거리에서의 저항 일과 $P = Fv$ 양방향 모두를 고려합니다.
• 직접 충돌을 운동량과 복원 계수로 풀고 두 속도를 명시합니다; $(1-e^2)$ 에너지 손실과 개별 체에 대한 충격을 계산하며, 벽 충돌과 2차 충돌을 부호 있는 도표로 연결합니다.
• 경직체에 대해서는 미지수를 제거하는 회전점에 대한 모멘트를 취하고, 성분을 분해하며, 한계 평형 문제를 $\tan\theta$에 대한 방정식으로 마무리합니다.