M2 · Mechanics 2

통계 1 (S1, 시험 WST01/01, 1시간 30분, 75점, 첫 평가June 2019)은 국제 AS 수학에서 M1의 통계 파트너입니다. P1과 P2가 전제로 됩니다. 다음 공식 책에는 통계 표가 포함되어 있으며, 아래 공식들은 기억해야 할 내용입니다. 이 참고 자료는 데이터 표현 및 요약, 확률, 상관관계 및 회귀, 이산 무작변량 및 정규 분포를 다룹니다. 이산 확률 변수와 정규 분포.

S1 필수 지식 (교재에 포함되지 않음):

통계적 모델은 실제 상황을 단순화하여 표현, 분석하고 예측하기 위해 사용하는 모델입니다. 사용하는 이유: 실제 실험보다 빠르고 저렴하며, 반복 및 정교화가 가능하며, 관계성을 드러냅니다. 표준적인 이유를 알고 있어야 합니다. "예측을 하기 위해"라는 설명만으로는 점수를 받을 수 없습니다. 반복되고 정제되며, 이는 관계를 드러냅니다. 표준적인 이유를 알고 있어야 합니다. "예측을 하는" 것만으로는 점수를 받을 수 없습니다. (연속 비교는 두 그룹을 비교합니다). 상자 그림은 최소값, 하사분위수, 중앙값,

히스토그램에서 면적이 빈도이며, 막대 높이는 빈도 밀도입니다. $\dfrac{\text{frequency}}{\text{class width}}$이므로 불균등한 클래스는 불균등한 너비를 가지며, 막대를 비교하는 것은 밀도를 비교하는 것입니다. 줄기-잎 도표는 원본 값을 유지합니다(반대 방향 비교 시 두 그룹을 비교함). 상자 그림은 최솟값, 하사분위수, 중앙값, 상사분위수, 최댓값을 보여주며, 문제에서 제시한 규칙에 따라 이치점을 별도의 십자로 표시합니다. 상사분위수, 최댓값을 보여주며, 이치점은 문제에서 지정한 규칙에 따라 별도의 십자가로 표시됩니다. 상위 사분위수, 최댓값, 이치점은 어떤 규칙을 문제에서 명시하든 별개의 십자표로 표시함.

해설 예제 — 비율에 따른 히스토그램 높이 (WST01 6월 2025 Q5a). 225대의 속도 classes of widths 5, 5, 10, 15, 15 with frequencies 54, 90, 60, 15, 6: the densities are 10.8, 18, 6, 1, 0.4. 가장 높은 막대(25–30, 밀도 18)는 높이를 10 cm로 그리므로, 둘째로 높은 막대(20–25, 밀도 10.8)는 $\tfrac{10.8}{18}\times 10 = 6$ cm로 측정됨. 주의: 이 30–40 막대에도 밀도 6이 있다 — 오직 비례 논리로만 채점되며, "60 ÷ 10"라는 표기만으로는 점수를 받을 수 없다.

구분 데이터에서 중위수 또는 사분위를 추정하려면 포함 구간의 선형 보간법을 사용한다: 포함된 교실: $Q_2 = a + w\times\dfrac{\tfrac n2 - F}{f}$. 사분위범위 총 $Q_3 - Q_1$을 직접 더한 후 공식을 다시 적용하십시오. 표준편차는 분산의 제곱근입니다. 코딩 역전: 만약 $\sigma^2 = \dfrac{\sum x^2}n - \bar x^2$이 라면, $\dfrac{\sum fx^2}{\sum f} - \bar x^2$과 $\sum x = \sum n_i\bar x_i$이 됩니다. 전체 $\sum x^2$를 직접 더한 후 공식을 다시 적용한다. 표준편차는 분산의 제곱근이다. 코딩은 반대로 작용하므로, 만약 $w = 11.5d$이라면, $S_{td} = \dfrac{S_{tw}}{11.5}$과 $S_{dd} = \dfrac{S_{ww}}{11.5^2}$가 된다.

해설 예제 — 두 교실의 합계 (WST01 6월 2025 Q2). 교실 A: $n = 24$, $\bar x = 47$, $\sum x^2 = 66876$; 교실 B: $n = 30$, $\bar x = b$, $\sum x^2 = 73826$; 전체 54 학생들의 평균은 45이다. 따라서 $\sum x = 54(45) = 2430$이 되므로, $\sum x_B = 2430 - 24(47) = 1302$과 $b = 43.4$이다. 합계 표준편차: $\sigma = \sqrt{\tfrac{66876 + 73826}{54} - 45^2} = \sqrt{580.59\ldots} = 24.1$. 모든 B 점수가 2만큼 증가하면: B의 분산은 변하지 않는다(이동은 값 자체를 바꾸지 않음), 합계 평균은 증가하고, 그리고 합산 표준편차가 감소하여 — B가 A에 더 가까워지므로 전체 집단의 산포가 줄어듭니다.

해설 예제 — 보간 사분위수 (WST01 June 2025 Q5c–d). 누적 빈도 54, 144, 204, 219, 225: 중앙값은 112.5번째 값이며, 25–30 사이에 위치합니다: $Q_2 = 25 + 5\times\tfrac{112.5-54}{90} = 28.25$. $Q_3$은 168.75번째이며, 30–40 사이에 위치합니다: $Q_3 = 30 + 10\times\tfrac{168.75-144}{60} = 34.125$이므로, $Q_1 = 25.14$이 주어지면, $IQR = 8.985$.

거리 비교: $(Q_3 - Q_2)$ 대 $(Q_2 - Q_1)$, 또는 평균 대 중앙값. 위에서, $5.875 > 3.11$(평균 $30.6 >$ > 중앙값 $28.25$)이므로 속도는 양(+)의 왜곡을 띱니다. (오른쪽 왜곡) — 이것이 바로 정규 모델이 채택되지 않는 이유이기도 합니다.

표본 공간부터 시작하세요: 공식 암기보다 결과를 나열하는 것이 유리합니다. 두 사건에 대해, $P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$과 $P(A\cap B) = P(A)P(B\mid A)$; 독립성 은 $P(B\mid A) = P(B)$을 의미하며 곱의 법칙을 제공합니다. 조건부 확률 나무를 뒤집음: $P(B\mid A) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$일 때 $P(A)>0$. 복원 없이 남은 총 개수를 하나 줄이고, 선택된 항목이 해당 범주에서 온 경우에만 해당 범주의 개수를 줄임.

풀이 예제 — 벤다이어그램에서 조건부확률로 (WST01 6월 2025 Q4). $P(C\cup D) = 0.59$, $P(D) = 0.45$, $P(C\mid D) = 0.2$. 그러면 $P(C\cap D) = 0.2 \times 0.45 = 0.09$과 $P(C) = 0.59 + 0.09 - 0.45 = 0.23$ — 벤다이어그램을 채우면 두 답이 모두 도출됩니다.

풀이 예제 — 역연산이 가능한 나무도 (WST01 6월 2025 Q7). 주머니: 3 흰색, 6 노란색; 두 개를 비교환 없이 추출. 나무도: $\tfrac69, \tfrac39$, 이후 노란색 후 $\tfrac58, \tfrac38$, 흰색 후 $\tfrac68, \tfrac28$. 정확히 한 개의 노란색: $\tfrac69\cdot\tfrac38 + \tfrac39\cdot\tfrac68 = \tfrac12$. 적어도 하나의 흰색: $1 - \tfrac69\cdot\tfrac58 = \tfrac7{12}$. 흰색이 하나 이상일 때, 두 개 모두 흰색: $\dfrac{\tfrac39\cdot\tfrac28}{\tfrac7{12}} = \dfrac1{12}\cdot\dfrac{12}7 = \dfrac17$.

곱분산 상관계수 $r = \dfrac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}$ 선형 상관관계($-1 \le r \le 1$)를 측정하며, 문맥에서 해석한다. 최소제곱법 회귀직선 $y$에 대한 $x$은 $y = a + bx$이며, $b = \dfrac{S_{xy}}{S_{xx}}$과 함께 $a = \bar y - b\bar x$ — 오직 $x$로부터 $y$를 예측하는 데에만 사용 가능하며, 데이터 범위 내에서만 가능하다. (외삽은 경고된 위험임). $x$과 $y$를 교체하면 직선이 달라짐.

해설 예제 — 코딩된 회귀(WST01 6월 2025 Q3). $w = 11.5d$에서, $S_{tt} = 26.43$, $S_{tw} = -91.55$, $\sum w = 339.25$, $\sum t = 9.1$, $\sum w^2 = 10036.45$을 12일 동안: $S_{ww} = 10036.45 - \tfrac{339.25^2}{12} = 445.57$; 이 pmcc는 $r = \dfrac{-91.55}{\sqrt{26.43 \times 445.57}} = -0.844$ — 날씨가 따뜻할수록 가스 사용량이 적다. 이 $w$에 대한 $t$의 회귀식: $b = \tfrac{-91.55}{26.43} = -3.46$, $a = \tfrac{339.25}{12} - (-3.46)\tfrac{9.1}{12} = 30.9$, 따라서 $w = -3.46t + 30.9$; 양변을 11.5로 나누어 $t$에 대한 $d$를 구함: $d = -0.301t + 2.69$. $t = 2$에서: $d = 2.09$ m³, 그리고 각 추가 온도는 약 $0.3$ m³의 가스 사용량 감소를 의미한다.

이산 확률변수는 독립적인 값들을 가지며 확률이 $p(x) = P(X = x)$으로 합이 1인 확률함수 표가 해당 변수를 나타낸다. 기대값 $E(X) = \sum xp(x)$, $E(X^2) = \sum x^2p(x)$, 분산 $\mathrm{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$. 누적함수는 $F(x_0) = P(X \le x_0)$까지 확률을 합산하여 $x_0$를 얻는다. 이산 균등분포에 대해 $1, \dots, n$에는 $E(X) = \tfrac{n+1}2$와 $\mathrm{Var}(X) = \tfrac{n^2-1}{12}$이 있다.

풀이 예제 — 전체 절차 (WST01 June 2025 Q1). X가 확률 0.3, 0.2, 0.35, 0.15에 대해 1–4. $F(3.5) = 0.3+0.2+0.35 = 0.85$. 부등식 $3X - 3 < X + 2$의 해는 $X < 2.5$이므로, $P = 0.5$ — 먼저 $X$를 구한 뒤 더합니다. $E(X) = 2.35$, $E(X^2) = 6.65$, $\mathrm{Var}(X) = 6.65 - 2.35^2 = 1.1275$; 그리고 $\mathrm{Var}(5-2X) = 4(1.1275) = 4.51$은 코딩 규칙에 의해 구합니다.

정규분포 $X\sim N(\mu, \sigma^2)$의 경우 표준화: $Z = \dfrac{X-\mu}\sigma$한 후 표를 읽으십시오. 대칭성은 계산의 절반을 대신합니다: $P(X > \mu + 2\sigma) = P(Z > 2) = 0.0228$과 $P(\mu - 2\sigma < X < \mu + 2\sigma) = 1 - 2(0.0228) = 0.9544$이다. 역문제는 $z$을 구하게 한다. 표에서 구한 뒤, $x = \mu + z\sigma$; 같은 $k$에 대한 두 조건은 연립방정식을 만듭니다.

해설 예제 — 밀가루 주머니 (WST01 June 2025 Q6). 작은 주머니 $X\sim N(502, 3^2)$: $P(X > 508) = P(Z > 2) = 0.0228$. 4개 중 정확히 2개가 508보다 무겁다: $6(0.0228)^2(0.9772)^2 = 0.00298$: $Y\sim N(1024, \sigma^2)$이므로, 85입니다. 만약 1038.51이라면, $z_{0.85} = 1.0364$이므로, $\sigma = \tfrac{14.51}{1.0364} = 14$입니다. $P(X > k) = P(Y < 2k)$, 이후 $\tfrac{k-502}3 = \tfrac{1024-2k}{14}$, 따라서 $14k - 7028 = 3072 - 6k$, $k = 505$, 그리고 $p = P(Z > 1) = 0.159$.

• 불등간급에 대한 빈도밀도를 계산하고, 히스토그램 막대를 비율로 비교하며, 포함 계급 내부에서 사분위수를 보간하고, 주어진 규칙 하에 이상치를 표시하십시오.
• 불균등 계급의 빈도밀도를 계산하고 히스토그램 막대를 비율로 비교하며, 포함 계급 내부에서 사분위수를 보간하고, 주어진 규칙 하에 이상치를 표시하십시오.
• $\sum x$과 $\sum x^2$을 통해 데이터셋 결합; $S$ 통계에 대한 역코딩; 평균, 분산 및 표준편차에 대한 이동 또는 스케일링의 효과 예측.
• 베인 도표와 트리에서 확률 문제 해결: 재포함/비재포함 모두 적용; $P(A\cap B)/P(A)$를 이용한 역조건부 계산.
• $S$ 통계를 기반으로 $r$ 산출 및 해석; $y = a + bx$ 적합; 범위 내 예측만 수행; 코딩된 데이터를 원본 변수로 복원.
• 이산형 DRV 관행 실행: 확률의 합이 1임; 먼저 $X$에 대한 부등식 풀기, 이후 $E(X)$, $E(X^2)$, 분산, 선형 코딩 순서 진행; 균일 분포 결과를 인용.
• 정규분포 문제의 양방향 표준화 수행; 대칭성 활용; 두 조건 문제를 연립방정식으로 마무리.