P4 · Pure Mathematics 4

순수 수학 4 (P4)은 국제 A Level 수학 및 국제 A Level 순수 수학의 최종 필수 순수 단위입니다. 국제 A-Level 순수 수학. P1–P3는 선행 지식으로 간주되며 WMA14/01에서 시험할 수 있습니다. 지문 (1시간 30분, 75점; 동일한 계산기 및 공식집 규칙 적용). 이 참고 자료 모순에 의한 증명, 부분분수, 매개변수 방정식, 일반 이항급수, 함수적 미분 및 매개변수 미분, 미분방정식, 확장된 적분법, 회전체 부피, 벡터 등을 다룹니다. 적분 방법, 회전체 부피, 벡터 등.

P4 필수 내용 (공식집에 없음):

모순에 의한 증명은 주장의 반대인 가정을 세우고, 이를 통해 불가능함을 도출한 뒤, 원본 주장을 결론으로 내립니다. 반드시 알아야 할 고전적 예시가 두 가지 있습니다: 원래 주장을 결론짓습니다. 반드시 알아야 할 고전 두 가지:

해설 예제 — $\sqrt2$은 무리수임. (수 ***$\tfrac pq$***과 같지 않으면 무리수입니다.) 대신 $\sqrt2 = \tfrac pq$가 기약분수인 경우를 가정합 분모 ($p, q$이 서로소인 정수, $q \ne 0$).

• 제곱: $2 = \tfrac{p^2}{q^2} \implies p^2 = 2q^2$이므로, $p^2$은 짝수이며, 따라서 $p$도 짝수입니다: 다음과 같이 씁니다 $p = 2r$.
• 그러면 $4r^2 = 2q^2 \implies q^2 = 2r^2$이므로, $q$도 짝수입니다.
• $p$과 $q$이 모두 짝수라는 것은 기약분수인 $\tfrac pq$와 모순됩니다. $\blacksquare$

해설 예제 — 소수는 무한히 많다. 유한하다고 가정하자: $p_1, \ldots, p_k$.

• $N = p_1p_2\cdots p_k + 1$을 고려한다. $N$를 어떤 $p_i$로 나누어도 나머지는 1이다.
• So $N$ is either prime itself or has a prime factor not in the list — either way a prime outside $\{p_1, \ldots, p_k\}$, 가정과 모순됨. $\blacksquare$

해설 예제 — 삼각함수 모순 (Edexcel IAL WMA14 June 2025 Q10). 모든 $90° < x < 180°$에 대해 $\lvert\sin x + \cos x\rvert < 1$임을 증명하시오.

• 반대로 가정하자: 값의 범위에 있는 어떤 $x$이 $\lvert\sin x + \cos x\rvert \ge 1$을 만족한다. 양변을 제곱(양수임): 양변은 모두 음이 아니므로:
  $$(\sin x + \cos x)^2 \ge 1 \implies \sin^2x + 2\sin x\cos x + \cos^2x \ge 1 \implies 1 + \sin 2x \ge 1 \implies \sin 2x \ge 0$$
• 그러나 $90° < x < 180°$는 $180° < 2x < 360°$을 유도하며, 이는 $\sin 2x < 0$ — 모순이다.
• 따라서 그러한 $x$은 존재하지 않으며, 값의 범위 전체에서 $\lvert\sin x + \cos x\rvert < 1$이 성립한다. $\blacksquare$
• $x = 135°$에서 확인: $\lvert\tfrac{\sqrt2}2 - \tfrac{\sqrt2}2\rvert = 0 < 1$ ✓; $x = 100°$에서: $\lvert 0.985 - 0.174\rvert = 0.811 < 1$ ✓.

분해하여 유리함수를 부분분수로 나타내십시오. 분모는 repeated linear complexity를 유지합니다: 중복 선형 인자: $(ax+b)(cx+d)(ex+f)$ 또는 $(ax+b)(cx+d)^2$으로 중복 인자가 중복 인자에 걸쳐 분리됨 $(cx+d)$는 지수에 걸쳐 분리됩니다. 이차 인자는 불필요합니다. 부정분수 (분자의 차수 $\ge$ 분모의) 먼저 나누세요.

해설 예제 — 상이한 인자. $\dfrac{5x + 1}{(x+2)(x-1)}$를 분해하십시오 (P2 시트 패밀리에서):

• $x = 0$에서 확인: 좌변 $= \tfrac1{-2} = -\tfrac12$; 우변 $= \tfrac32 - 2 = -\tfrac12$ ✓.

해설 예제 — 중복 인자. $\dfrac{3x^2 + 7x + 6}{x(x+1)^2}$를 분해하십시오.

• 중복 인자를 두 지수에 걸쳐 설정하십시오:
  $$\frac{3x^2+7x+6}{x(x+1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^2}$$
• 양변을 곱하면: $3x^2 + 7x + 6 = A(x+1)^2 + Bx(x+1) + Cx$.
• $x = 0$에서: $6 = A$. $x = -1$에서: $3 - 7 + 6 = 2 = -C \Rightarrow C = -2$.
• $x^2$를 비교합니다: $3 = A + B \Rightarrow B = -3$.
  $$\frac{3x^2+7x+6}{x(x+1)^2} = \frac{6}{x} - \frac{3}{x+1} - \frac{2}{(x+1)^2}$$
• $x = 1$에서 확인: 좌변 $= \tfrac{16}{4} = 4$; 우변 $= 6 - \tfrac32 - \tfrac12 = 4$ ✓.

매개변수 방정식은 매개변수 $t$를 통해 두 좌표를 모두 정의합니다: $x = f(t)$, $y = g(t)$. Convert to Cartesian form by making $t$ the subject of one 방정식을 다른 식에 대입하거나(또는 항등식을 활용하여). 항상 다음을 잊지 말라: $x$의 제거된 값, 즉 매개변수 변환이 성립하지 않는 지점들.

Worked example. A curve has $x = 2t$, $y = t^2 - 1$. Find the Cartesian equation.

• $x = 2t$로부터: $t = \dfrac x2$이므로,
  $$y = \left(\frac x2\right)^2 - 1 = \frac{x^2}{4} - 1$$
• Check at $t = 3$: $(x, y) = (6, 8)$; Cartesian: $36/4 - 1 = 8$ ✓.

풀이 예제 — 매개변수 점과 수직선 (Edexcel IAL WMA14 6월 2025 Q5의 검증된 사실). 매개변수 곡선은 $P(-7, -3)$을 지나며, 그 지점에서 $t = 2$일 때 $\dfrac{dy}{dx} = -\tfrac45$입니다 ($\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$에서 유도).

• 수직선 기울기: $-\dfrac{1}{-4/5} = \dfrac54$.
  $$y + 3 = \tfrac54(x + 7) \implies 5x - 4y + 23 = 0$$
• 확인: $5(-7) - 4(-3) + 23 = -35 + 12 + 23 = 0$ ✓.

임의의 유리수 $n$와 $\lvert x \rvert < 1$에 대해:

먼저 인수분해하십시오: $(a + bx)^n = a^n\left(1 + \tfrac ba x\right)^n$, 이는 $\lvert x\rvert < \left\lvert\tfrac ab\right\rvert$에서 유효합니다. 유리함수를 부분분수로 분해한 후 각 부분을 전개하십시오. $n$가 양의 정수가 아닌 한, 차수는 소멸하지 않습니다.

풀이 예제 (Edexcel IAL WMA14 6월 2025 Q8에서 변형). $\sqrt{4 + x}$을 세 개의 비영 항까지 전개하십시오.

• 인수분해: $\sqrt{4+x} = 2\left(1 + \tfrac x4\right)^{1/2}$, 유효 조건 $\lvert x\rvert < 4$, 그리고 $n = \tfrac12$:
  $$\left(1 + \frac x4\right)^{1/2} = 1 + \frac12\cdot\frac x4 + \frac{\frac12\left(-\frac12\right)}{2}\left(\frac x4\right)^2 + \cdots = 1 + \frac x8 - \frac{x^2}{128} + \cdots$$
  $$\sqrt{4+x} = 2 + \frac x4 - \frac{x^2}{64} + \cdots$$
• $x = 1$에서 확인: 급수는 $2 + 0.25 - 0.0156 = 2.234$을 줍니다; 참 $\sqrt5 = 2.2361\ldots$ ✓ (세 번째 항이 두 항의 값 2.25를 0.002 이내로 낮춥니다).

암시적 미분은 양변을 $x$에 대해 미분하며, $x$에 대한 $y$: $\dfrac{d}{dx}y^2 = 2y\dfrac{dy}{dx}$, 그리고 $xy$와 같은 곱셈항도 필요하다. 곱의 미분법을 사용해야 합니다: $\dfrac{d}{dx}(xy) = y + x\dfrac{dy}{dx}$. 그런 다음 $\dfrac{dy}{dx}$에 대해 풉니다.

매개변수 미분: $dx/dt\ne0$일 때 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$; 그렇지 않으면 접선을 직접 확인하십시오.

풀이 예제 — 암시적 접선 (Edexcel IAL WMA14 6월 2025 Q1 수정). 곡선 $2y^2 - 6xy + 7\mathrm{e}^{1-2x} = 27$는 점 $\left(\tfrac12,\ 4\right)$을 지나갑니다. 그 지점에서의 접선을 구하십시오.

• 항별로 미분합니다:
  $$4y\frac{dy}{dx} - 6y - 6x\frac{dy}{dx} - 14\mathrm{e}^{1-2x} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{6y + 14\mathrm{e}^{1-2x}}{4y - 6x}$$
• $\left(\tfrac12, 4\right)$에서: $\mathrm{e}^{1-1} = 1$이므로,
  $$\frac{dy}{dx} = \frac{24 + 14}{16 - 3} = \frac{38}{13}$$
• 접선: $y - 4 = \tfrac{38}{13}\left(x - \tfrac12\right) \implies 38x - 13y + 33 = 0$.
• 확인: $38\left(\tfrac12\right) - 13(4) + 33 = 19 - 52 + 33 = 0$ ✓.

변화율 설명으로부터 방정식을 세우고, 분리 가능한 미분 방정식을 풀이합니다:

변수 분리 중 소거된 값 확인: 상수 해를 잃을 수 있습니다. 특수해에는 경계 조건을 사용하십시오. 연결된 변화율은 연쇄 법칙을 사용합니다: $\dfrac{dV}{dt} = \dfrac{dV}{dr}\cdot\dfrac{dr}{dt}$.

풀이 예제 — 녹아내리는 구체 (Edexcel IAL WMA14 6월 2025 Q2). 반지름이 $r$ cm는 부피 $V = \tfrac43\pi r^3$를 가지며, 초당 $\dfrac{dV}{dt} = k$ (상수, 단 cm³)로 녹음. $\dfrac{dr}{dt} \propto \dfrac1{r^2}$를 보여줌.

• 부피 관계식을 미분합니다: $\dfrac{dV}{dr} = 4\pi r^2$.
• 연쇄 법칙: $k = \dfrac{dV}{dt} = 4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$, 따라서
  $$\frac{dr}{dt} = \frac{k}{4\pi r^2} = \frac{k}{4\pi}\cdot\frac{1}{r^2}$$
• 상수 $\dfrac{k}{4\pi}$이 $\dfrac{1}{r^2}$에 곱해짐: 감소율은 반지름이 $r^2$에 반비례함. $\blacksquare$
• 해석: 작은 구가 비례적으로 빠르게 사라짐 — 마지막 밀리미터가 녹음 빨리 녹음.

해설 예제 — 분리 가능한 방정식 (Edexcel IAL WMA14 6월 2025 Q3에서 수정). $y\dfrac{dy}{dx} = 3\sec 2x\tan 2x$를 풀되, $x = \tfrac\pi6$일 때 $y = 4$을 만족하도록 하라.

• 변수 분리: $\displaystyle\int y\,dy = \int 3\sec 2x\tan 2x\,dx$ (우변은 적분하여 $\tfrac32\sec 2x$가 되며, $\dfrac{d}{dx}\sec 2x = 2\sec 2x\tan 2x$의 역연산임):
  $$\frac{y^2}{2} = \frac32\sec 2x + c \implies y^2 = 3\sec 2x + C$$
• $\left(\tfrac\pi6, 4\right)$ 대입: $16 = 3\sec\tfrac\pi3 + C = 3(2) + C$, 따라서 $C = 10$:
  $$y^2 = 3\sec 2x + 10$$
• 확인: $3(2) + 10 = 16 = 4^2$ ✓.

• 대입법 (주로 주어짐): 적분을 $u$으로 다시 쓰고, $dx$를 조정하여 적분 후 다시 대입한다. 이는 연쇄 법칙의 역연산이다. $\dfrac{du}{dx}$, 적분 후 다시 대입. 역연쇄 규칙이다.
• 부분적분: $\displaystyle\int u\dfrac{dv}{dx}dx = uv - \int v\dfrac{du}{dx}dx$ — 곱의 미분 법칙의 역연산. $\displaystyle\int\ln x\,dx = x\ln x - x + c$를 알고, $\int x^2\mathrm{e}^x dx$형 적분에 대한 반복적분 패턴을 이해해야 한다.
• 부분분수는有理적 피적분식을 $\dfrac{A}{ax+b}$의 합으로 변환 (적분 시 로그로) 및 $\dfrac{C}{(ax+b)^2}$ (지수로).

해설 예제 — 반복되는 부분적분. $\displaystyle\int \mathrm{e}^x\cos x\,dx$를 구하라(삼각함수 곡선과 관련된 회전체 부피 계산 시 필요).

• $u = \mathrm{e}^x$, $\tfrac{dv}{dx} = \cos x$에 대한 부분적분:
  $$\int \mathrm{e}^x\cos x\,dx = \mathrm{e}^x\sin x - \int\mathrm{e}^x\sin x\,dx$$
• 새로운 적분($u = \mathrm{e}^x$, $\tfrac{dv}{dx} = \sin x$)에 대한 부분:
  $$= \mathrm{e}^x\sin x + \mathrm{e}^x\cos x - \int\mathrm{e}^x\cos x\,dx$$
• 원래 적분이 다시 나타납니다. 이를 정리하세요:
  $$2\int\mathrm{e}^x\cos x\,dx = \mathrm{e}^x(\sin x + \cos x) + c \implies \int \mathrm{e}^x\cos x\,dx = \tfrac12\mathrm{e}^x(\sin x + \cos x) + c$$
• 미분하여 확인: $\tfrac12\mathrm{e}^x(\sin x + \cos x) + \tfrac12\mathrm{e}^x(\cos x - \sin x) = \mathrm{e}^x\cos x$ ✓.

$y = f(x) \ge 0$ 아래 영역을 $x$축 주위로 회전시키면 부피가

회전체 부피를 형성합니다.

적분 전에 함수를 제곱하고, 삼각함수 항등식을 사용하여 $\sin^2$/$\cos^2$를 처리한 뒤, 선형성을 통해 분리합니다. 매개변수 방정식의 경우, $y^2\,dx$를 $y^2\dfrac{dx}{dt}\,dt$로 대체하여 매개변수 값 사이에서 계산하며, 매개변수 곡선 아래 면적은 $y\dfrac{dx}{dt}\,dt$을 사용합니다.

해설 예제 — 항등식을 이용한 부피 (구조는 Edexcel IAL WMA14 6월 2025 Q9에서 참고). $y = 3\cos x$의 $0 \le x \le \tfrac\pi2$ 구간의 영역을 $x$축 주위로 회전할 때 정확한 부피를 구하십시오.

• 확인: 반바퀴 동안 $\cos^2x$의 평균값이 $\tfrac12$이므로, $V \approx 9\pi \times \tfrac12 \times \tfrac\pi2 = \tfrac{9\pi^2}{4}$이 정확히 성립합니다. ✓

벡터는 크기와 방향을 가지며, $\mathbf a = a_1\mathbf i + a_2\mathbf j + a_3\mathbf k$로 표기하거나 열 벡터로 나타냅니다.

크기는 $\lvert\mathbf a\rvert = \sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$입니다. $\mathbf a\ne\mathbf0$에 대해 해당 방향의 단위 벡터는 $\mathbf a/\lvert\mathbf a\rvert$입니다. 영 벡터는 방향이 없습니다.

Addition and scalar multiplication have geometric meanings (translations, scaling, parallel when one is a multiple of the other).

스칼라 곱 $\mathbf a\cdot\mathbf b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$는 $\cos\theta$를 통해 비영 벡터 사이의 각도를 구합니다. $A$에 대한 $B$의 위치 벡터는 $\overrightarrow{AB} = \mathbf b - \mathbf a$입니다.

해설 예제 — 45° 삼각형 (Edexcel IAL WMA14 June 2025 Q6, 완전 검증됨). $A = \mathbf i + 2\mathbf j - 3\mathbf k$, $B = 5\mathbf i + 2\mathbf j + \mathbf k$, $C = 3\mathbf i + \alpha\mathbf j + 5\mathbf k$ 및 각도 $BAC = 45°$.

• $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}4\\0\\4\end{pmatrix}$이므로, $\lvert\overrightarrow{AB} \rvert = \sqrt{32}$; $\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}2\\\alpha - 2\\8\end{pmatrix}$.
• 스칼라 곱: $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 8 + 0 + 32 = 40$.
• $\cos 45° = \tfrac1{\sqrt2}$에 대한 각도 조건:
  $$\frac{40}{\sqrt{32}\sqrt{68 + (\alpha-2)^2}} = \frac{1}{\sqrt2} \implies \sqrt{68 + (\alpha-2)^2} = \frac{40\sqrt2}{\sqrt{32}} = \frac{40\sqrt2}{4\sqrt2} = 10$$
  $$(\alpha-2)^2 = 100 - 68 = 32 \implies \alpha = 2 \pm 4\sqrt2$$
• 확인: $\lvert\overrightarrow{AB}\rvert\lvert\overrightarrow{AC}\rvert\cos45° = \sqrt{32}\times 10 \times \tfrac1{\sqrt2} = 4\sqrt2\times10\times\tfrac1{\sqrt2} = 40$ ✓ 스칼라 곱과 일치합니다.

• 가정을 명시하고 모순을 명시하는 구조적 반증 증명(√2, 소수) 작성
• 반복 선형 인자를 포함하는 부분분수로 분해; 부정분수를 나눕니다 먼저; 대입한 값으로 검증하십시오.
• 제외값이 있는 매개변수식 ↔ 데카르트식 변환; dy/dx를 통한 매개변수 접선 및 법선 구하기 dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)
• 유효성 조건을 함께 하여 $(a + bx)^n$의 전역 전개(rational $n$에 대해); partial fractions의 전개 결과 결합 부분분수 전개
• 연동 미분법(혼합항의 곱의 미분법 포함) 및 매개변수 미분법 적용; 연결된 속도에서 미분방정식 구성 연결된 속도에 따른 미분방정식 생성
• 경계 조건이 있는 분리변수 미분방정식 풀이; 특해 확인
• 치환, 부분적분(반복, $\ln x$ 포함), 부분분수를 이용한 적분
• 회전체 부피 $\pi\int y^2 dx$ 및 매개변수 면적 $dx/dt$를 통한 계산
• 벡터 활용: 크기, 단위 벡터, 위치 벡터; 스칼라 곱을 이용한 각도 구하기