P2 · Pure Mathematics 2

순수 수학 2(P2)은 국제 AS 수학의 두 번째 필수 단위이며, 삼각함수 항등식 및 방정식, 정지점, 그리고 면적을 포함한 적분 Edexcel IAL 규격(P2 주제 전체 포함)을 다룹니다(Issue 3, April 2019): 증명, 인수와 잔余 정리, 원 기하학, 수열과 급수, 지수함수와 로그함수, 삼각함수 항등식과 방정식, 정지점, 그리고 면적을 포함한 적분 등, 삼각함수 항등식 및 방정식, 정지점, 면적을 포함한 적분 등 사다리꼴 법칙

• P2 시험지(WMA12/01)는 1시간 30분간 진행되며, 총 75점입니다. P1에 대한 지식과 그 공식들은 사전에 숙지된 것으로 간주되며, P2 시험지에서 검증될 수 있습니다.
• 동일한 계산기 사용 및 노란색 수학 공식 및 통계 표 규칙이 적용됩니다. P1과 동일합니다. 아래 공식은 책자에 포함되지 않으므로 암기해야 합니다.
• "계산 과정의 모든 단계를 보이시오" 질문은 계산기만 사용한 답을 거부하므로, 불완전한 유효숫자 3자리까지의 근사값을 제시하되, 별도의 지시가 없는 경우를 제외합니다.

P2에서 반드시 알아야 할 공식 (평가 정보 기준):

증명은 주어진 가정부터 논리적 단계를 거쳐 결론에 도달하는 과정입니다. P2에서는 다음 세 가지 방법을 사용합니다: 세 가지 증명 방법:

• 전부 열거 증명은: 가능한 경우를 분류하여 모든 경우를 확인합니다.
• 반례를 통한 반증: 주장이 성립하지 않는 한 예가 있으면 이를 반증할 수 있습니다.
• 대수적 증명: 주어진 내용에서 시작하여 항등식(해결해야 할 방정식이 아님)을 변형하여, 최종적으로 목표 명제에 도달합니다. 목표 명제로 끝내십시오.

해설 예제 — 귀납법 증명(소멸) (Edexcel IAL WMA12 6월 2025 Q10 문제 수정). 다음을 증명하시오: 3의 배수가 아닌 모든 양의 정수 $m$에 대해, $m^2 + 3m + 2$의 값은 항상 3의 배수입니다.

• 먼저 인수를 분해합니다: $m^2 + 3m + 2 = (m+1)(m+2)$.
• 3로 나누어지지 않는 양정수는either $m = 3q + 1$ 또는 $m = 3q + 2$입니다 — 이것이 모든 경우이므로, 이 경우들을 모두 검토하면 주장을 증명할 수 있습니다.
• Case $m = 3q + 1$: $(m+1)(m+2) = (3q+2)(3q+3) = 3(3q+2)(q+1)$ — 3의 배수입니다.
• Case $m = 3q + 2$: $(m+1)(m+2) = (3q+3)(3q+4) = 3(q+1)(3q+4)$ — 3의 배수입니다.
• 두 경우 모두 3의 배수를 제공하므로, $3 \nmid m$일 때 항상 $3 \mid m^2+3m+2$이 성립합니다. $\blacksquare$
• 확인: $m = 1$: $6 = 3 \times 2$ ✓; $m = 2$: $12 = 3 \times 4$ ✓; $m = 4$: $30$ ✓; $m = 5$: $42$ ✓.

해설 예시 — 반례. 다음 명제를 반박하십시오: "$n^2 - n + 1$은 모든 정수에 대해 소수이다" $n \ge 2$."

• 반례 하나면 충분합니다. $n = 5$를 시도해 봅시다: $25 - 5 + 1 = 21 = 3 \times 7$, 이는 소수가 아닙니다.
• 이 주장은 거짓입니다. $n = 2,3,4$을 확인하면 소수 $3, 7, 13$을 얻습니다 — 패턴은 처음에 성립하지만, 이는 정확히 반례가 더 많은 예시보다 문제를 해결하는 이유입니다.

다항식 $f(x)$에 대해:

• 인수 정리: $(x - b)$는 $f(x)$의 인수가 되는 것은 오직 $f(b) = 0$일 때입니다. 따라서 $(ax - b)$ 형태의 약수에 대해서는: $f\!\left(\tfrac{b}{a}\right) = 0$이면 $(ax - b)$은 인수입니다.
• 나머지 정리: $f(x)$를 $(ax - b)$으로 나누었을 때 남는 나머지는 $f\!\left(\tfrac{b}{a}\right)$.
• 대수적 나눈 $(ax \pm b)$에 의해 상수와 나머지를 얻습니다; 차수는 1만큼 감소합니다: $f(x) = (ax - b) \times (\text{quotient}) + \text{remainder}$.

해설 예제 — 두 정리 동시에 활용 (Edexcel IAL WMA12 June 2025 Q4 수정). $f(x) = ax^3 + bx^2 + 5x - 3$, 여기서 $(x+3)$은 $f(x)$의 인수이며, $f(x)$을 나누었을 때 $(2x - 1)$로 나머지가 7이 남음.

(a) $b = 3a + 2$임을 보여라.

• 인수 정리: $f(-3) = 0$:
  $$a(-27) + b(9) + 5(-3) - 3 = 0 \implies -27a + 9b - 18 = 0 \implies b = 3a + 2$$

(b) $a$과 $b$을 구하라.

• 나머지 정리를 $(2x-1)$에 적용: $f\!\left(\tfrac12\right) = 7$:
  $$\frac{a}{8} + \frac{b}{4} + \frac{5}{2} - 3 = 7 \implies \frac{a}{8} + \frac{b}{4} = 7.5 \implies a + 2b = 60$$
• $b = 3a + 2$ 대입: $a + 6a + 4 = 60$이므로, $a = 8$와 $b = 26$이다.
• 검증: $f(x) = 8x^3 + 26x^2 + 5x - 3$; $f(-3) = -216 + 234 - 15 - 3 = 0$ ✓ 그리고 $f(\tfrac12) = 1 + 6.5 + 2.5 - 3 = 7$ ✓.

(c) $f(x)$을 $(x - 2)$으로 나눈 이차식과 나머지.

• $8x^3 + 26x^2 + 5x - 3$을 $(x-2)$로 나눤 때: 이차식 $8x^2 + 42x + 89$, 나머지 $175$.
• 재구성하여 검증: $(x-2)(8x^2+42x+89) + 175 = 8x^3 + 42x^2 + 89x - 16x^2 - 84x - 178 + 175 = 8x^3 + 26x^2 + 5x - 3$ ✓. The remainder also equals $f(2) = 64 + 104 + 10 - 3 = 175$ ✓.

중심 $(a, b)$, 반지름 $r$인 원의 방정식은 다음과 같다.

전개형 $x^2 + y^2 + fx + gy + c = 0$이 주어졌을 때, 제곱완성법을 사용하여 중심을 복원함. $\left(-\tfrac f2, -\tfrac g2\right)$과 $r^2 = \tfrac{f^2 + g^2}{4} - c$을 찾아라. 세 가지 원의 성질을 살펴본다: 다음 성질이 검토됨:

• 중심으로부터 현에 내린 수선은 현을 이등분한다;
• 접선은 접점에서의 반지름에 수직이다.
• 접선은 접점에서 반지름과 수직이다.

worked example — 지름의 끝점 (Edexcel IAL WMA12 6월 2025 Q2 수정). 직선 $(-2, 5)$와 $(4, 15)$을 잇는 선은 원 $C$의 지름입니다.

(a) $C$의 방정식.

• 중심은 중점: $\left(\tfrac{-2+4}{2}, \tfrac{5+15}{2}\right) = (1, 10)$.
• 지름의 제곱: $d^2 = (4-(-2))^2 + (15-5)^2 = 36 + 100 = 136$이므로, $r^2 = 136 \div 4 = 34$.
  $$(x - 1)^2 + (y - 10)^2 = 34$$
• 확인: 두 끝점이 모두 방정식을 만족함: $(-3)^2 + (-5)^2 = 34$ ✓ 및 $3^2 + 5^2 = 34$ ✓.

(b) $C$에서 y축($x$축)에 가장 가까운 점의 좌표.

• 가장 가까운 점은 수직 반지름 위에 있습니다: 중심과 같은 x좌표($x$), 그 아래로 $r$만큼:
  $$(1,\ 10 - \sqrt{34})$$
• 확인: $(1-1)^2 + (10-\sqrt{34}-10)^2 = 34$ ✓, 그리고 더 작은 y좌표($y$)는 불가능합니다. 왜냐하면 centre sits $10 > \sqrt{34}$ above the axis.

열은 $n$항의 공식이나 관계식으로 주어질 수 있습니다. $x_{n+1} = f(x_n)$. 이를 증가하는, 감소하는 또는 주기에 따른으로 설명함. (식에서 아닌 항들로부터 판단).

산수열: 일정한 차수 $d$.

합 공식의 증명($S_n$를 앞으로와 뒤로 적어 더함)과 합 공식 자체를 알고 있어야 하며, $\Sigma$ 표기법도 알아야 합니다.

등비열: 일정한 비 $r$.

합 공식의 증명($S_n - rS_n$의 소거법)을 알고 있어야 합니다. 로그를 사용하여 풀이하십시오. $n$일 때 항의 값이 주어진 경우.

이항 전개 for a positive integer $n$:

풀이 예제 — 로그를 사용한 기하 급수 (Edexcel IAL WMA12 June 2025 Q7에서 변형). 기하 급수가 $10 + 8 + 6.4 + \cdots$으로 시작합니다.

(a) 무한합.

• $a = 10$, $r = 8/10 = 0.8$, 그리고 $|r| < 1$:
  $$S_\infty = \frac{a}{1-r} = \frac{10}{1 - 0.8} = 50$$

(b) $k$항이 0.0005보다 작을 때, 가장 작은 $k$을 대수적으로 구하십시오.

• $k$항이 $10(0.8)^{k-1}$인 경우:
  $$10(0.8)^{k-1} < 0.0005 \implies (0.8)^{k-1} < 0.00005$$
• 로그를 취합니다 (1미만의 수의 로그는 음수입니다 — 나누는 동안 부호 부호를 유지하십시오): 나누기:
  $$(k-1)\log 0.8 < \log 0.00005 \implies k - 1 > \frac{\log 0.00005}{\log 0.8} = 44.38\ldots$$
• 따라서 $k > 45.38$이고 가장 작은 정수는 $k = 46$입니다.
• 확인: $10(0.8)^{45} = 0.000436\ldots < 0.0005$ ✓ 그러나 $10(0.8)^{44} = 0.000544\ldots > 0.0005$ ✓.

풀이 예제 — 최대 산술 합 (동일한 문제에서 변형). 산술 급수가 $850 + 843 + 836 + \cdots$ ($d = -7$)으로 시작합니다. 가장 큰 부분합:

• 항은 $u_n = 850 - 7(n-1) > 0$까지 양수를 유지하므로 $n \le 122.4$; 122항은 $850 - 7(121) = 3 > 0$이고 123항은 $-4 < 0$입니다.
  $$S_{122} = \frac{122}{2}\big(2(850) + 121(-7)\big) = 61(1700 - 847) = 61 \times 853 = 52\,033$$
• 확인: 음수인 123항을 추가하면 합이 줄어들므로 $S_{122}$이 최대입니다 ✓.

$y = a^x$($a > 0$, $a \ne 1$)는 $(0, 1)$을 지나며, $a > 1$에 대해 무한히 증가함. 이 로그 $\log_a x$은 이를 역연산함: $\log_a x = y$은 $a^y = x$을 의미함. 다음을 알 것:

와 $\log_a \tfrac1x = -\log_a x$. $a^x = b$을 $x = \log_a b$(변수 대입이 필요할 수 있습니다.)로 풀이하십시오. 사용 가능). 항상 해가 정의역을 만족하는지 확인하세요: 로그함수는 양의 피연산자를 필요합니다.

해설 예제 — 로그 방정식 (Edexcel IAL WMA12 June 2025 Q6 수정). $2\log_2(4 - x) = 3 + \log_2\!\left(\dfrac{x + 11}{2}\right)$.

• 양변을 하나의 로그함수로 정리합니다:
  $$\log_2(4-x)^2 = \log_2 8 + \log_2\!\left(\frac{x+11}{2}\right) = \log_2\big(4(x+11)\big)$$
• 같은 로그함수는 같은 피연산자를 가집니다:
  $$(4-x)^2 = 4(x+11) \implies x^2 - 8x + 16 = 4x + 44 \implies x^2 - 12x - 28 = 0$$
  $$(x - 14)(x + 2) = 0 \implies x = 14 \ \text{or}\ x = -2$$
• 정의역 확인: $4 - x > 0$은 $x < 4$을 필요하므로, $x = 14$은 기각됩니다. $x = -2$.
• 검증: 좌변 $= 2\log_2 6$; 우변 $= 3 + \log_2(4.5) = \log_2(8 \times 4.5) = \log_2 36 = 2\log_2 6$ ✓.

해설 예제 — 정확히 교차하는 점 ($\log_3$ 형태) (동일 문제). 곡선 $y = 3^{2x+1}$과 $y = 6 \times 3^x$이 $P$에서 만납니다; $P$을 $(\log_3 a, b)$로 나타내십시오.

• 같다고 두고 $u = 3^x$을 대입합니다:
  $$3\cdot 3^{2x} = 6 \cdot 3^x \implies 3u^2 = 6u \implies u = 2 \implies 3^x = 2 \implies x = \log_3 2$$
  $$y = 6 \times 3^x = 6 \times 2 = 12$$
• $P = (\log_3 2,\ 12)$, so $a = 2$, $b = 12$. Check: $3^{2\log_3 2 + 1} = 3 \cdot 3^{2\log_3 2} = 3 \cdot 4 = 12$ ✓.

두 가지 항등식이 사인, 코사인, 탄젠스 사이를 변환합니다:

주어진 구간에서 삼각함수 방정식을 한 함수로 환원하여(보통 숨겨진 이차방정식), 그래프의 대칭성을 통해 두 번째 해를 읽으십시오. 구간의 단위를 명시하고, 그 단위로 계산하며(도 또는 라디안), 범위를 벗어난 값은 기각합니다. 구간에서는 해당 단위를 사용(도 또는 라디안), 범위를 벗어난 값은 배제함.

해설 예제 — 라디안 및 정확한 분수 (Edexcel IAL WMA12 June 2025 Q8 수정). $3\tan\!\left(2x + \dfrac{\pi}{5}\right) = \sqrt3$의 해를 $0 \le x < \pi$ 구간 내에서 구하십시오.

• 3로 나누기: $\tan\left(2x + \tfrac{\pi}{5}\right) = \dfrac{1}{\sqrt3}$, 그리고 $\tan\frac{\pi}{6} = \dfrac{1}{\sqrt3}$:
  $$2x + \frac{\pi}{5} = \frac{\pi}{6} + k\pi \implies 2x = -\frac{\pi}{30} + k\pi \implies x = -\frac{\pi}{60} + \frac{k\pi}{2}$$
• $0 \le x < \pi$에서: $x = \dfrac{29\pi}{60}$ (k = 1) 및 $x = \dfrac{59\pi}{60}$ (k = 2).
• 확인: $x = \frac{29\pi}{60}$에서: $2x + \frac\pi5 = \frac{7\pi}{6}$ 및 $\tan\frac{7\pi}{6} = \tan\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt3}$ ✓.

풀이 예제 — 코사인 속 숨은 이차방정식 (동일 문제). 다음을 푼다: $0 \le \theta < 360°$에 대한 $5\sin\theta\tan\theta = \cos\theta + 4$.

• $\tan\theta = \sin\theta/\cos\theta$을 치환하고 양변에 $\cos\theta$을 곱한다:
  $$\frac{5\sin^2\theta}{\cos\theta} = \cos\theta + 4 \implies 5\sin^2\theta = \cos^2\theta + 4\cos\theta$$
• $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$을 사용한다:
  $$5(1 - \cos^2\theta) = \cos^2\theta + 4\cos\theta \implies 6\cos^2\theta + 4\cos\theta - 5 = 0$$
• $\cos\theta$에 대한 이차공식을 적용한다:
  $$\cos\theta = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 120}}{12} = \frac{-2 \pm \sqrt{34}}{6}$$
• $-$의 근은 $-1$보다 작으므로(거절); $\cos\theta = 0.6385$은 $\theta = 50.3°$을 주며, 코사인의 대칭성에 의해 $\theta = 360° - 50.3° = 309.7°$을 얻는다.
• 확인: $\cos 50.3° = 0.638$ ✓; 두 각 모두 구간 내에 있다 ✓.

정지점은 $\dfrac{dy}{dx} = 0$을 가진다. 도함수의 부호를 통해 분류한다:

• 도함수가 $+$에서 $-$로 변할 때: 극대;
• 도함수가 $-$에서 $+$로 변할 때: 극소;
• 이계도함수를 활용하면: 점에서의 $f''(x) > 0$은 극소를, $f''(x) < 0$은 극대를 확인해 준다.

함수는 $f'(x) > 0$인 구간에서 증가하고, $f'(x) < 0$인 구간에서 감소한다. 실용적 문제—최소 소재, 최소 비용 등—는 한 변수에 대한 식을 최소화하는 것으로 변환된다.

해설 예제 — 모델링의 최솟값 (Edexcel IAL WMA12 6월 2025 Q9 수정). 개방형 하단부(트러프)는 다리가 $3x$과 $2x$인 직각삼각형 끝면과 직사각형 측면 $3x \times L$ 와 $2x \times L$, 그리고 용적은 $12\ \text{m}^3$임. 금속 면적은 $S\ \text{m}^2$임.

(a) $S = 6x^2 + \dfrac{20}{x}$임을 보임.

• 부피: 단면적 $\times$ × 길이 $= \tfrac12(3x)(2x) \times L = 3x^2L = 12$, 따라서 $L = \dfrac{4}{x^2}$.
• 표면적: 삼각형 두 개와 직사각형 두 개의 합:
  $$S = 2 \times \tfrac12(3x)(2x) + 3xL + 2xL = 6x^2 + 5x \cdot \frac{4}{x^2} = 6x^2 + \frac{20}{x}$$

(b) 미분법으로 구하는 최소 $S$.

(c) 최솟값을 타당하게 설명하십시오.

• 정의역 전체에서 이계도함수가 양수: 정지점이 최솟값임 ✓.
• 확인: $x = 1.1856$, $\frac{d^2S}{dx^2} = 12 + 40/(5/3) = 12 + 24 = 36 > 0$ ✓.

기본 정리(de fundamental theorem)를 사용하여 부정적분 계산하기:

정적분은 $y \ge 0$에 대한 곡선 아래 면적입니다. 영역이 곡선과 직선 사이에 의해 제한된 영역에서는 교차점 사이에서 (상단 − 하단)로 적분하고, 순서가 바뀌는 지점에서 구간을 나눕니다. 어떤 그래프가 위에 있는지 확인하십시오.

해설 예제 — 곡선과 직선 사이의 면적 (Edexcel IAL WMA12 June 2025 Q3 수정). $C$: $y = 3x + \dfrac{16}{x^2} - 8$ ($x > 0$)에서 $P(1, 11)$과 $Q(4, 5)$가 $C$에 위치할 때, 면적을 구하시오. $C$와 선분 $PQ$ 사이의 영역의 면적입니다.

• 직선 $PQ$: 기울기 $\dfrac{5-11}{4-1} = -2$이므로, $y - 11 = -2(x - 1) \implies y = -2x + 13$입니다.
• $Q$ 확인: $-8 + 13 = 5$ ✓.
• 직선 아랫면적: $\displaystyle\int_1^4 (-2x + 13)\,dx = \left[-x^2 + 13x\right]_1^4 = 36 - 12 = 24$입니다.
• 곡선 아래 면적: $\displaystyle\int_1^4 \left(3x + 16x^{-2} - 8\right)dx = \left[\tfrac32x^2 - \tfrac{16}{x} - 8x\right]_1^4 = (24 - 4 - 32) - (\tfrac32 - 16 - 8) = 10.5$.
• 영역 면적: $24 - 10.5 = \mathbf{13.5}$ 제곱 단위입니다.
• 확인: 전체 구간에서 직선이 곡선 위에 있습니다($x = 2$ 지점: 직선 $9$, 곡선 $3(2) + 4 - 8 = 2$), 따라서 직선에서 곡선을 빼는 것이 올바른 순서입니다 ✓.

사다리꼴 법칙은 너비 $h$인 $n$개의 띠로 면적을 근사합니다:

띠를 더 많이 나누거나 곡선이 더 곧을수록 추정치가 정확해집니다. 위로 볼록한 곡선(볼록함, $x^2$ 모양의 U자형)은 모든 현이 곡선 위에 있게 하므로 법칙은 과대평가하며, 아래로 볼록한 곡선(오목함, $\sqrt x$ 또는 원호 모양)은 현이 곡선 아래에 있게 하므로 법칙은 과소평가합니다. 따라서 이 법칙은 과소평가합니다.

작업 예제 — 표를 이용한 사다리꼴 법칙. $\displaystyle\int_1^3 \frac{1}{x}\,dx$를 4개의 띠로 근사하십시오.

• $[1, 3]$에 대해 네 개의 줄무늬를 사용하면 $h = 0.5$과 $y = \dfrac1x$의 다섯 가지 값이 나옵니다: $x = 1,\ 1.5,\ 2,\ 2.5,\ 3$ 지점에서의 값은 $1,\ 0.6667,\ 0.5,\ 0.4,\ 0.3333$입니다.
  $$\int_1^3 \frac1x\,dx \approx \frac{0.5}{2}\big[1 + 0.3333 + 2(0.6667 + 0.5 + 0.4)\big] = 0.25 \times 4.4667 = 1.12$$
• 실제 값은 $\ln 3 = 1.099$ (3 유효숫자)입니다. 추정치는 과대평가입니다: $y = 1/x$는 볼록(위로 오목하게 굽음)이므로, 모든 직선 줄무늬는 곡선 위에 위치함 ✓.

• 증명 구성; 완결된 경우의 수를 모두 고려하여 증명하거나, 반례 하나만으로 부인함.
• 인수 정리와 나머지 정리를 적용하여, $(ax - b)$ 약수를 포함하고 대수 연산을 수행하십시오. 나눗셈을 수행하여 윗부분과 나머지를 구함.
• 원의 중심과 반지름을 두 형태 중 하나에서 구하고, 원의 세 가지 성질을 사용하십시오.
• 산술급수와 기하급수(두 가지 합 공식 증명 모두)에 $a_n$, $S_n$, $S_\infty$를 사용함, $\Sigma$ 표기법 및 로그를 사용하여 $n$를 구함.
• 이항계수를 사용하여 $(a + bx)^n$를 전개하고 주어진 계수들과 일치시킴.
• 세 가지 법칙을 이용하여 로그 방정식을 풀고 도메인을 확인하며, 교차점을 정확히 $(\log_a b, c)$로 제시할 때 그대로 답함.
• $\tan = \sin/\cos$와 $\sin^2 + \cos^2 = 1$를 사용하여 삼각방정식을 단순화하고, 주어진 도 또는 라디안 단위로 해를 구하며, 전체 구간 내의 해를 나열함.
• 정지점(stationary points)을 찾고 분류하며, 부호 변화 또는 이계도를 통해 정당성을 설명하고, 단변수 모델링에서 최소값 설정을 준비함.
• 정적분 값을 계산하고, 곡선 아래 면적 및 곡선과 직선 사이의 면적을 구하며, 표에서 사다리꼴 규칙(trapezium rule)을 적용하고 오차 방향을 명시함.