범위 및 전제 조건
ACT 프레임워크, 2월 2026 개정판. 여기서의 교실 사례는 공식 ACT 형식이 아니다.
- 증명을 주장하지 않고 모집단 추정치와 시뮬레이션 증거를 해석하십시오
- 조건부 확률, 합성 확률 및 기댓값량을 계산하십시오
- 순열 또는 조합을 선택할 때 순서가 중요한지 여부에 따라 결정하십시오
필요 지식: 백분율; 모집단; 무작위 추출과 배정의 차이.
방법 설명 및 선택
A random sample supports inference to its source population; a margin of error gives a sampling-uncertainty interval around an estimate. Random assignment instead supports a causal treatment comparison. In a simulation, a result rarely produced under a claim can be evidence against that claim; failure to find an unusual result does not prove the claim true.
조건부 확률은 분모를 조건부 집단에 국한합니다. A 또는 B에 대해 개별 확률을 더한 후 교집합을 빼야 합니다. 독립성은 변하지 않는 확률의 곱을 허용하며, 복원 없는 추출은 업데이트된 개수를 요구합니다. 기댓값은 가능한 각 결과에 그 확률을 한 것들의 합이며, 반드시 한 번의 실험에서 달성된 결과가 아닙니다.
순차적 선택의 곱의 법칙을 사용하십시오. n개의 서로 다른 개체에서 r개를 순서대로 선택하면 n!/(n-r)!이며, 순서를 고려하지 않은 집합으로 선택하면 n!/[r!(n-r)!]입니다. 같은 집합의 여러 순열을 제거하기 위해 r!로 나눕니다. 이 공식은 서로 다른 개체와 무반복 조건을 가정하며, 다른 조건에 대해서는 해당 계수가 필요합니다.
Translate the event to a count before calculating its probability. If a favourable event can occur in several disjoint ways, add those ways; if paths overlap, avoid double-counting. A numerical answer must be between zero and one for a probability, while an expected cost or score has the units of the outcomes.
오차 한계는 백분율 포인트 단위로 더하고 뺍니다. 63%를 4 오차 한계로 추정하면 59%–67%입니다. 이는 특정 절차로부터 도출된 구간이지, 각 개인의 응답이 모두 63% 근처에 있다는 보장은 아닙니다. 무작위 표본추출은 모집단 추론을 지원하고, 무작위 배분은 처리 간 비교를 다룹니다.
Worked example. From five students, captain/deputy pairs number 5·4=20; unranked pairs number 5·4/2=10. A game awards 4 points with probability 1/4 and 0 otherwise, so expected award is 1 point per play. A sample estimate 52% ±3 percentage points gives 49%–55%; it is not a guarantee about every sample or individual.
연습 자료
아래 각 연습 문제에서는 필요한 모든 데이터를 명시하고 있습니다.
추론 연습
연습 1
6명의 학생이 의장과 비서(서기)를 선출합니다. 배치는 몇 가지나 될까요? 순서 없는 2인 위원회는 몇 가지일까요? 차이를 설명하십시오.
추론. 순서가 있는 역할은 $6(5)=30$을 줍니다. 순서 없는 쌍은 해당 에서 각 쌍을 두 번 세므로, 실제로는 $6(5)/2=15$개입니다. 사람을 교체하면 역할이 바뀌지만 순서 없는 위원회 자체는 변하지 않습니다.
연습 2
게임에서 12token을 0.1확률로, 3token을 0.4확률로 지급하며, 나머지는 0입니다. 참가비는 2token입니다. 예상 지급액과 예상 순수익을 구하십시오. 플레이어는 매번 그 금액을 받습니까?
추론. 남은 확률은 0.5입니다. $E(P)=12(0.1)+3(0.4)+0(0.5)=2.4$개의 토큰입니다. 플레이당 평균 순수익은 $E(G)=E(P)-2=0.4$ 토큰입니다. 실제 순수익 결과는 10,1, -2이며,NONE은 모델 하의 장기 평균인 0.4과 일치하지 않습니다.
연습 3
3개의 빨간 공과 2개의 파란 공이 담긴 주머니에서 무반복으로 2개의 공을 뽑습니다. 두 공 모두 빨간 공일 확률과 정확히 한 개의 빨간 공일 확률을 구하십시오.
추론. $P(RR)=(3/5)(2/4)=3/10$입니다. 정확히 한 개의 빨간 공이 RB 또는 BR로 나타날 수 있습니다: $P=(3/5)(2/4)+(2/5)(3/4)=3/5$입니다. 두 번째 분모는 4이며, 이rottle은 종속적입니다.
연습 4
A random sample of 500 registered library members reports 62% support for a change, with stated margin 4 percentage points. State the interval and population. Does it establish support among every town resident?
추론. 구간은 $62\%-4\%=58\%$부터 $62\%+4\%=66\%$까지이며, 여기서 뺄셈은 포인트를 의미합니다. 모집단은 표본 프레임 내의 등록 회원입니다. 비회원들은 표본에 포함되지 않았으므로, 이 추정치는 모든 주민의 지지를 입증할 수 없습니다.
Practice 5
40명의 자원봉사자가 구식 및 신식 지시 하에 무작위로 배정되어 동일한 작업과 조건을 수행합니다. 신식 그룹이 더 빠르게 완료했습니다. 합리적인 인과 관계 및 모집단 주장은 무엇입니까?
추론. 무작위 배정은 테스트된 조건 하에서 이러한 참가자를 위한 교육 방법 간의 인과 비교를 지원하지만 변동성에 의해 제한됩니다. 자원봉사자 선택은 모집단 일반화에 한계를 가집니다. 모든 미래 사용자가 더 빠르게 완료할 것이라는 것을 입증하지는 않습니다.
연습 6
10000명의 웹사이트 자원봉사자 조사는 보고된 오차가 작습니다. 크기만으로 선택 편향을 수정할 수 없는 이유를 설명하고, 더 나은 모집 방법을 제안하십시오.
추론. 응답을 선택한 사람들은 응답하지 않은 사람과 체계적으로 다를 수 있습니다. 표본 변동성을 위한 오차 범위는 이러한 편향을 제거하지 못합니다. 정의된 목표 집단을 무작위로 선택하고 미응답을 추적하되, 여전히 한계를 보고해야 합니다.
한계 및 향후 활용법
순서, 교체 및 조건부 확률은 계산을 변경합니다. 통계적 주장을 기각하지 않는 것은 그것이 참임을 증명하는 것이 아닙니다.
이것들은 이 과정을 위해 작성된 원본 연습 문제이지 공식 시험 문제가 아닙니다.