범위 및 전제 조건
ACT 프레임워크, 2월 2026 개정판. 여기서의 교실 사례는 공식 ACT 형식이 아니다.
- 산술적 차수와 기하적 비를 구분하십시오
- 인덱스를 일관되게 유지하면서 항 또는 유한합을 구하십시오
- 유효한 정의역에서 로그 방정식을 지수 형태로 변환하십시오
필요 전공: 지수 표기법; 지수 법칙; 유한 수열.
방법 설명 및 선택
산술 수열은 상수 차이 d를 가지며, aₙ=a₁+(n-1)d입니다. 유한합은 n(a₁+aₙ)/2입니다. 기하 수열은 상수 비 r을 가지며, aₙ=a₁r^(n-1)입니다. r≠1인 경우, 유한합은 a₁(1-rⁿ)/(1-r)이며, r=1일 때는 단순히 n a₁입니다. 요구된 항이나 총합을 매칭하십시오.
지수 모델 A b^t는 지정된 시간 단위당 b배 곱함을 의미합니다. r이라는 백분율 성장은 인자 1+r을 사용합니다. 반복되는 변화는 백분율을 더하는 것이 아니라 인자를 곱합니다. 배가되는 데 여러 시간 단위가 걸리면 지수에서 t를 해당 간격으로 나눕니다.
기저 b>0이고 b≠1일 때, log_b(a)=c는 b^c=a를 의미하며 a>0이어야 합니다. 로그 방정식을 지수 관계로 변환한 후 로그의 정의를 확인하여 해를 구합니다. 유효한 양의 정에 대해 곱의 로그는 합으로, 로그는 더하기 분배되지 않습니다.
사용 가능한 정수 거듭제곱을 사용하십시오. ACT는 수치 로그 표가 필요하지 않은 간단한 로그 관계를 테스트할 수 있습니다. 계산된 근사값도 문제의 표현 방식과 정의역을 준수해야 합니다. 수열의 인덱스, 지수 모델의 시간, 로그의 피연산자는 개념적으로 분리하여 유지하십시오.
산술 수열 : $a_n=a_1+(n-1)d$. 그 합은 $S_n=n(a_1+a_n)/2$입니다. 기하 수열 : $a_n=a_1r^{n-1}$과 $S_n=a_1(1-r^n)/(1-r)$이 $r\ne1$에 대한 것입니다. 로그는 지수 연산의 역연산입니다: $\log_b a=c$은 $b^c=a$을 의미하며, $a>0$, $b>0$, $b\ne1$입니다.
풀이 예제. 등차 4,7,10,… 은 a₅=16이고 첫 다섯 항의 합이 5(4+16)/2=50입니다. 등비 3,6,12,24은 네 항의 합이 45입니다. log₂(x-1)=4에서 x-1=16이므로 x=17이며, 이는 x>1을 만족합니다. 인구 50·2^(t/3)가 여섯 시간 단위로 200에 도달합니다.
연습 자료
아래 각 연습 문제에서는 필요한 모든 데이터를 명시하고 있습니다.
추론 연습
연습 1
연속된 줄의 좌석 수를 12,16,20,… 이라고 할 때, 여덟 번째 줄과 첫 여덟 줄의 총좌석을 구하십시오. 모델의 가정을 명시하십시오.
추론. 일정한 차이는 행당 4 좌석입니다. $a_8=a_1+7d=12+7(4)=40$ 좌석입니다. $S_8=8(a_1+a_8)/2=8(12+40)/2=208$ 좌석입니다. 여덟 행 전체에 걸쳐 네 좌석 증가량이 동일하다고 가정합니다.
연습 2
기하급수가 5,15,45,… 으로 시작할 때, 다섯 번째 항과 전 5항의 합을 구하십시오. 비가 1일 경우 어떻게 달라지는지 설명하십시오.
추론. $a_5=a_1r^4=5(3)^4=405$입니다. $S_5=a_1(1-r^5)/(1-r)=5(1-243)/(1-3)=605$입니다. $r=1$일 때 분모가 0이 되어 올바른 합은 $na_1$이며, 여기서는 동일한 항 다섯 개의 합인 25입니다.
연습 3
$\log_2(x-3)=5$를 풀고, 왜 $\log_2(x+3)$가 일반적으로 $\log_2x+\log_23$로 나뉘지 않는지 설명하십시오.
추론. 정의역은 $x>3$이어야 합니다. 지수 형태로 $x-3=32$이 되므로 $x=35$이며 정은 양수입니다. 로그의 합은 합이 아닌 곱 $3x$에 해당하며, $x+3$이 아닙니다. $x=1$에서 제안된 등식은 2과 $\log_23$이 같아지는 것을 의미합니다.
연습 4
배양 모델이 120개의 세포로 시작하여 2시간마다 1.5배로 성장합니다. 시간 ⟨$t$⟩에 대한 $N(t)$를 작성하고, $N(4)$를 구하며, 배율과 백분율 성장을 구분하십시오.
논리. $N(t)=120(1.5)^{t/2}$개 세포. $N(4)=120(1.5)^2=270$개 세포. 성장은 2시간당 50%이지, 150%가 아니다. 4시간의 배율은 2.25이다. 시간당 배율은 $\sqrt{1.5}$이 될 것이다.
한계 및 향후 활용법
n차항에 n-1 대신 n을 사용하지 마십시오. 유한합과 마지막 항을 혼동하거나, log(a+b)를 log a + log b로 전개하지 마십시오.
이것들은 이 과정을 위해 작성된 원본 연습 문제이지 공식 시험 문제가 아닙니다.