범위 및 전제 조건
ACT 프레임워크, 2월 2026 개정판. 여기서의 교실 사례는 공식 ACT 형식이 아니다.
- 해결 전 분모 및 루트 부등식 조건을 기록한다
- 변환된 방정식의 대안 해를 원방정식에 대입하여 검증한다
- 동시 해 또는 허용 영역을 찾고 해석한다
필요 지식: 인수분해; 치환; 정의역 제한.
방법 설명 및 선택
有理表达式에서는 인수를 소거하거나 방정식을 분모에 곱하기 전에 분모의 영점을 먼저 파악해야 한다. 단순화 과정에서 가시적인 인수가 사라질 수 있으나, 원래의 제한 조건은 유지된다. 덧셈 안의 특정 항만 소거하지 말고 전체 인수를 소거해야 한다.
제곱 전 루트를 단변량으로 분리하고 그 음의 값을 존중한다. 제곱은 해를 보존하지만 추가 대안을 만들 수 있으므로, 각 대안을 원방정식에 대입해야 한다. 영이 될 수 있는 식에 곱하는 경우에도 동일한 주의가 필요하다. 변환된 다항식을 만족하지만 원본에서는 틀린 값은 불필요한 해(외래근)이다.
연립방정식은 모든 방정식을 만족하는 동일한 순서쌍을 요구합니다. 한 직선을 원이나 포물선(抛物线)에 대입하여 얻은 이차방정식을 풀고, 두 번째 좌표를 복원하십시오. 선형 연립방정식은 하나의 교점, 교점 없음, 혹은 중합된 직선일 수 있습니다. 두 대수적 근과 두 개의 독립된 연립방정식을 혼동하지 마십시오.
부등식 연립방정식의 경우, 각 조건이 허용 영역을 제공하므로 해는 이들의 교집합이다. 엄격한 경계线上的的点은 다른 부등식은 만족하더라도 제외된다. 제안된 점이 각 원부등식(등호 포함)에 대입되어 검증되어야 한다.
후보 근(候选根)은 원래 방정식을 만족해야 합니다. $\sqrt{x+6}=x$에서 우변은 음이 아니어야 한다. 제곱하면 $x^2-x-6=0$이 되므로, 후보는 $3,-2$입니다. 원본 검사를 통과하는 것은 오직 $3$뿐입니다: $\sqrt9=3$.
풀이 예제. √(x+6)=x 이므로 x≥0입니다. 양변 제곱하면 x²-x-6=0가 되어 후보로 3와 -2이 나오지만, 오직 3만 성립합니다. x²+y²=25 및 y=x+1인 경우, 대입하여 x²+x-12=0를 얻으므로 (3,4)과 (-4,-3)가 됩니다. (x²-4)/(x-2)는 x≠2일 때 x+2로 약분되며, 제한 조건이 유지됩니다.
연습 자료
아래 각 연습 문제에서는 필요한 모든 데이터를 명시하고 있습니다.
추론 연습
연습 1
$x^2+y^2=25$과 $y=x-1$을 연립하여 풉니다. 각 순서쌍이 두 방정식 모두에 만족하는지 확인합니다.
추론. 대입하여 $x^2+(x-1)^2=25$ 또는 $x^2-x-12=0$을 얻습니다. 근은 $4,-3$이므로, $(4,3)$과 $(-3,-4)$이 됩니다. 둘 다 제곱 합이 25이며, $y=x-1$을 만족합니다.
연습 2
$\sqrt{3x+4}=x$을 풀고, $y\ge x+1$과 $y<4-x$을 모두 만족하는 모든 점을 설명합니다.
추론. $x\ge0$으로 양변 제곱하면 $(x-4)(x+1)=0$이 되며, 오직 $x=4$만 성립합니다. 영역은 $y=x+1$ 위/위에 있고 $y=4-x$ 아래에 있습니다. $x+1<4-x$일 때만 존재하므로 $x<3/2$입니다. 두 영역의 교점(만나는 점)은 제외됩니다.
연습 3
$F(x)=(x^2-4x)/(x^2-16)$를 간소화합니다. 모든 원본 제한 조건을 명시하고, 왜 $F$이 후자 식의 전체 정의역에서 $x/(x+4)$과 동일하지 않은지 설명합니다.
추론. 분자를 $x(x-4)$로, 분모를 $(x-4)(x+4)$으로 인수분해합니다. 원본 정의역은 $x=4,-4$을 제외합니다. 약분하여 $x\ne4,-4$에 대해 $F(x)=x/(x+4)$을 얻습니다. 후자의 식만으로는 $4$도 허용되는데, 여기서 값은 $1/2$이고, $F(4)$는 정의되지 않습니다.
한계 및 향후 활용법
제한사항은 간소화 과정에서도 유지됩니다. 연립방정식에서는 모든 원래 관계식에 대해 두 좌표를 모두 확인하십시오.
이것들은 이 과정을 위해 작성된 원본 연습 문제이지 공식 시험 문제가 아닙니다.