ベクトルと大きさ

方向を持つ矢印

• 風速、力、速度 — これらはすべて大きさと方向を持っています。それがベクトルである理由です。
• スカラー（温度など）は大きさのみを持ちます。一方、ベクトルには両方が必要です。

ベクトルの表記法

• ベクトルは列ベクトル $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$、行ベクトル $\overrightarrow{AB}$、または太字 $\mathbf{a}$ で表されます。
• $x$ は水平成分（右向きが正）、$y$ は垂直成分（上向きが正）です。

風のような力は、大きさと方向の両方を持つベクトルです

ベクトルの加算と減算

• 成分ごとに加減算を行います：上同士の計算、下同士の計算。
• $\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \end{pmatrix}$.

大きさ（長さ）

• ベクトルの大きさにはピタゴラスの定理を使います：

• $\left|\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\right| = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

三角形則による加算: a の先端から b を描き、a+b は始点から終点へ向かう

方向を逆向きに反転させる

• ベクトルがAからBへ向かうなら、その負のベクトルはBからAへ向く。
• $\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}$の逆向きは$\overrightarrow{BA}=\begin{pmatrix}-3\\-4\end{pmatrix}$である。どちらも大きさ5を持つ。

スカラー乗法とゼロの確認

• 両成分をそれぞれ掛ける：$\mathbf a=\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}$なら、$3\mathbf a=\begin{pmatrix}6\\-9\end{pmatrix}$と$-\mathbf a=\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}$になる。負のスカラー倍率は方向を反転させる。
• 大きさは常に非負である：$|3\mathbf a|=3\sqrt{13}$；零ベクトルの大きさは0である。零でない平行ベクトルは互いにスラー倍数である。

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