| English | 意味 |
|---|---|
| space diagonal/speɪs daɪˈæɡənl/ | 空間対角線 |
| base diagonal/beɪs daɪˈæɡənl/ | 底面の対角線 |
The diagonal through a room
- How long is the longest pole that fits inside a box? It's the space diagonal 空间对角线 — running from one corner to the far opposite corner.
- 3D Pythagoras and trig reduce this to a flat triangle hidden inside the solid.
The strategy: find a triangle inside
- Every 3D problem becomes a 2D problem: spot a right-angled triangle inside the solid, then use Pythagoras or trig on it.
- Often you find a base diagonal 底面对角线 first, then bring in the height to form a second triangle.
三平方の定理
直角三角形において a² + b² = c² が成り立ちます。この考え方を二回適用すると、3-D 立体の内部の長さが求められます。
底面が6 cm × 8 cmの長方形の箱があります。底面の対角線の長さ（cm）を求めなさい。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
√(6² + 8²) = √100 = 10 cm。
3次元の問題では、立体内部に直角三角形を探して計算を行う。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
3次元全体の手法は、それを平らな直角三角形に還元することである。
3次元の問題では、まず ______ 対角線を見つけ、それを使って高さと組み合わせることが多い。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
底面の対角線（2Dピタゴラスの定理で求める）は、高さを持つ別の直角三角形の一辺となる。
Worked example — box diagonal
- A box has base $6\text{ cm} \times 8\text{ cm}$, height $5\text{ cm}$.
- Step 1 — base diagonal: $\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10\text{ cm}$.
- Step 2 — space diagonal: $\sqrt{10^2 + 5^2} = \sqrt{125} = 11.2\text{ cm}$.
6, 8, 5 cmの寸法を持つ箱があります。空間対角線は √(6² + 8² + 5²) です。これを求めなさい（小数点以下1桁）。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
√(36 + 64 + 25) = √125 ≈ 11.2 cm。
辺が3 cmの立方体があります。その空間対角線は √(3² + 3² + 3²) = √27 です。これを求めなさい（小数点以下2桁）。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
√27 = 3√3 ≈ 5.20 cm。
Worked example — angle to the base
- The base diagonal ($10$) and height ($5$) form a right triangle.
- $\tan\theta = \dfrac{5}{10} = 0.5$, so $\theta = \tan^{-1}(0.5) = 26.6^{\circ}$.
3D Pythagoras shortcut. The space diagonal of a box $l \times w \times h$ is $\sqrt{l^2 + w^2 + h^2}$. For our box: $\sqrt{36 + 64 + 25} = \sqrt{125} = 11.2$ cm.
Two steps, not one. For the angle, you need the base diagonal AND the height to form the second triangle. Using the space diagonal as a side gives the wrong angle.
底面の対角線が10 cm、箱の高さが5 cmです。底面に対する角は tan θ = 5/10 です。θ（度、小数点以下1桁）を求めなさい。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
θ = tan⁻¹(0.5) = 26.6°。
Where 3D trig appears
- Architecture: the angle of a roof rafter, the diagonal of a room.
- Engineering: the length of a support strut, the angle of a crane arm.
3D Pythagoras is just 2D Pythagoras applied twice — first on the base, then with the height.
You've got it
- in 3D, spot a right-angled triangle inside the solid, then use Pythagoras/trig
- often find a base diagonal first, then bring in the height
- box $6 \times 8 \times 5$: base diagonal $10$, space diagonal $\sqrt{125} \approx 11.2$, angle $26.6^{\circ}$