| English | 意味 |
|---|---|
| trigonometry/ˌtrɪɡəˈnɒmətri/ | 三角学 |
| opposite/ˈɒpəzɪt/ | 対辺 |
| adjacent/əˈdʒeɪsənt/ | 隣辺 |
| angle of elevation/ˈæŋɡl ɒv ˌelɪˈveɪʃn/ | 仰角 |
| angle of depression/ˈæŋɡl ɒv dɪˈpreʃn/ | 俯角 |
あの木は何メートル高いのか？
- メジャーで登ることはできません。しかし、$10$ m 離れて立って $50^{\circ}$ を見上げれば、三角関数によって高さが $10 \times \tan 50^{\circ} \approx 11.9$ m と求められます。
- 三角関数は、角度と1つの既知の長さを用いて計測できないものを測ります。
辺の名前付け
- 直角三角形において、辺の名前は角度 $\theta$ に対して以下のように決まります:
- 対辺 (O): $\theta$ の向かい側にある辺。
- 隣辺 (A): $\theta$ に隣接する辺（斜辺を除く）。
- 斜辺 (H): 最も長い辺で、直角の向かい側にある辺。
SOH-CAH-TOA: 直角三角形における角度と辺の長さを結びつける3つの比。
直角三角関数
(cos θ, sin θ)
SOHCAHTOAはこの円から来ており、sin, cos, tan は角度の値である。
3つの比 — SOH CAH TOA
- 辺を求める: 比を使用して掛け算または割り算を行う。
- 角度を求める: 逆関数 ($\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$, $\tan^{-1}$) を使用する。
対辺 $4$、隣辺 $3$: $\;\tan\theta = \dfrac{4}{3}$ なので、$\theta = \tan^{-1}\!\left(\dfrac{4}{3}\right) = 53.1^{\circ}$。
塔を見上げる際は上昇角が含まれる
直角三角形で斜辺が10 cm、角度が30°の場合、対辺 = 10 × sin 30°。これを求めなさい（cm）。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
10 × sin 30° = 10 × 0.5 = 5 cm。
対辺が4 cm、隣辺が3 cmです。角度（度、小数点以下1桁）を求めなさい。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
tan θ = 4/3 なので、θ = tan⁻¹(4/3) = 53.1°。
隣辺が8 cm、角度が60°です。斜辺 = 8 / cos 60°。これを求めなさい（cm）。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
cos 60° = 0.5 なので、斜辺 = 8 / 0.5 = 16 cm。
SOH CAH TOAにおいて、sin θ = 対辺 / ______ 。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
SOH: sin θ = 対辺 / 斜辺。
上昇角と下降角（拡張版）
- 上昇角: 水平線から上へ見る角度。
- 下降角: 水平線から下へ見る角度。
- どちらも垂直線ではなく、水平線から測られます。
水平線から常に。 上昇角・下降角は垂直線ではなく、水平線から測られます。これがこれらの問題で最も多いミスです。
角度 $\theta$ に対する辺の名前付け: 向かい側が対辺、隣り側が隣辺、直角の向かい側が斜辺 (SOH-CAH-TOA)
塔の頂上からの仰角が50 m離れた地点で40°です。高さ = 50 × tan 40°。これを求めなさい（m、小数点以下1桁）。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
50 × tan 40° = 50 × 0.839 = 42.0 m。
仰角は垂直線から測定される。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
仰角と俯角はどちらも垂直線ではなく、水平線から測定される。
worked example（計算例）
- 塔から $50$ m 離れて、上昇角 $40^{\circ}$:
- $h=d\tan\theta=50\tan40^{\circ}\approx42.0$ m。四捨五入する前に、電卓の正接（tangent）の値をそのまま保持すること。
上昇角は水平線から上を指し、下降角は下を指す
理解できましたか
- SOH: $\sin\theta = \dfrac{\text{opp}}{\text{hyp}}$; CAH: $\cos\theta = \dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}$; TOA: $\tan\theta = \dfrac{\text{opp}}{\text{adj}}$
- 角度を求めるには逆関数 ($\tan^{-1}$ など) を使用する
- 上昇角は上を指し、下降角は下を指す — どちらも 水平線 から