| English | 意味 |
|---|---|
| line segment/laɪn ˈseɡmənt/ | 線分 |
| hypotenuse/haɪˈpɒtənjuːs/ | 斜辺 |
| Pythagoras/paɪˈθæɡərəs/ | 三平方の定理 |
| midpoint/ˈmɪdpɔɪnt/ | 中点 |
本当の距離は？
- スマホはカフェまでの距離が1.2 kmだと言っていますが、それは直線距離であり、通り沿いの蛇行する歩行距離ではありません。
- 座標幾何学では、2点間の正確な直線距離を求められることがよくあります。
- そのツールとは？ 2500年前の定理です。
長さおよび中点の実験
中点は端点の真ん中にある。
線分の上を移動し、中点を半分の位置として確認する。
線分の長さ（拡張版）
- 線分とは、2点 $(x_1, y_1)$ と $(x_2, y_2)$ の間の直線的な部分です。
- 線分を斜辺とする直角三角形を描きます：
- 水平方向の差は$x_2 - x_1$、垂直方向の差は$y_2 - y_1$です。
- ピタゴラスの定理より、長さは以下の通りです：
横方向の差(3)と縦方向の差(4)からピタゴラスの定理で長さが求められ、中点は座標の平均値である
解例 — 長さ
- $(1, 2)$ から $(4, 6)$ までの長さを求めよ。
- 水平方向の差$= 4 - 1 = 3$；垂直方向の差$= 6 - 2 = 4$。
- 長さ$= \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$。
- 有名な3-4-5直角三角形により、きれいな答えが得られます。
ピタゴラスの定理で長さ（斜辺）を求め、平均を取ることで中点（星印）を導きます。
原点からの距離。 長さは$(0, 0)$から$(3, 4)$まで：$\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$。同じ三角形だが、始点が異なる。
(1, 2) から (4, 6) までの線分の長さを求めよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
√((4−1)² + (6−2)²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
(0, 0) から (3, 4) までの線分の長さを求めよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
√(3² + 4²) = √(9 + 16) = 25 = 5。有名な3-4-5三角形である。
(1, 5) から (7, 5) までの線分の長さを求めよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
両点とも y = 5 （水平線分）。長さ = 7 − 1 = 6。
線分の中点（拡張版）
- 中点とは、2つの端点のちょうど真ん中にある点のことです。
- 各座標の平均値を求めることで見つけられます：
- 「半分の」$x$と「半分の」$y$のペアです。
計算例 — 中点
- $(1, 2)$ から $(4, 6)$ までの中点を求めよ。
- ⟨$x = \dfrac{1 + 4}{2} = \dfrac{5}{2} = 2.5$⟩ の中間値。
- ⟨$y = \dfrac{2 + 6}{2} = \dfrac{8}{2} = 4$⟩ の中間値。
- 中点$= (2.5,\, 4)$ — ちょうど真ん中。
足し算ではなく平均をとる。 $(1, 2)$ と $(4, 6)$ の中点は $(2.5, 4)$ であり、$(5, 8)$ ではない。必ず2で割ること。足し算ではなく平均値をとる必要がある。
(1, 2) と (4, 6) の中点は (a, 4) である。a はいくつか？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
x の値を平均する: (1 + 4)/2 = 2.5。
(2, 3) と (8, 9) の中点は (5, b) である。b はいくつか？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
y の値を平均する: (3 + 9)/2 = 6。
(x₁, y₁) と (x₂, y₂) の中点のx座標は：
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
中点は各座標の平均である: (x₁ + x₂)/2。選択肢2は割るのを忘れている；選択肢3は位置ではなく間隔の半分を与えている。
埋め合わせる: 中点のx座標 = (x₁ + ______) / 2。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
中点のx座標は2つのx値の平均である: (x₁ + x₂)/2。
3-4-5 三角形ファミリー
- 辺が$3, 4, 5$の三角形は、整数の辺を持つ最小の直角三角形である。
- 倍数も成り立つ：$6, 8, 10$ と $9, 12, 15$ も直角三角形である。
- 試験問題でよく登場します。これを見抜けば時間を節約できます。
水平な線分（両方のy座標が同じ場合）、長さは単にx座標の差である。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
y₁ = y₂ のとき、数式は √((x₂−x₁)²) = |x₂ − x₁| に簡略化される。
各線分をその長さに結びつけよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
(0,0)–(5,0) は水平で、長さ5。(1,1)–(1,4) は垂直で、長さ3。(0,0)–(6,8): √(36+64) = √100 = 10。(2,3)–(5,7): √(9+16) = √25 = 5。
理解できましたか
- 長さ$= \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$（水平・垂直の差にピタゴラスの定理を用いる）
- 中点$= \left( \dfrac{x_1 + x_2}{2}, \; \dfrac{y_1 + y_2}{2} \right)$（各座標の平均値をとる）
- $(1,2)$ から $(4,6)$ ：長さ$5$、中点$(2.5,\, 4)$
- 3-4-5 直角三角形は頻出テーマなので、早く見抜く