| English | 意味 |
|---|---|
| function/ˈfʌŋkʃn/ | 関数 |
| domain/dəˈmeɪn/ | 定義域 |
| range/reɪndʒ/ | 値域 |
| inverse function/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃn/ | 逆関数 |
| composite function/ˈkɒmpəzɪt ˈfʌŋkʃn/ | 合成関数 |
入力と出力を持つ機械
- 自動販売機：コードを入力（入力）すると、おやつが返ってくる（出力）。関数も同様に動作し、各入力はちょうど1つの出力を生み出す。
- $f(x) = 3x - 5$ は関数です：$x = 2$ を入れると、$f(2) = 1$ が得られます。
関数の評価
- $f(x) = 3x - 5$: $\;f(2) = 3(2) - 5 = 1$; $\;f(0) = -5$; $\;f(-1) = -8$.
- 定義域とは、許容される入力の集合のことです。値域とは、考えられる出力の集合のことです。
$f(x) = \sqrt{x}$ の定義域は $x \geq 0$（負の数の平方根は取れない）であり、値域は $f(x) \geq 0$ です。
関数
y = f(x)
関数は各入力に対してちょうど一つの出力に変換する——その形状に注意せよ。
f(x) = 3x − 5 について、f(2) はいくつか？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
f(2) = 3(2) − 5 = 6 − 5 = 1.
f(x) = x² + 1 について、f(3) はいくつか？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
f(3) = 3² + 1 = 9 + 1 = 10.
逆関数
- 逆 $f^{-1}$ は $f$ の逆操作を行います：$f$ が $2$ を $1$ に変えるなら、$f^{-1}$ は $1$ を $2$ に戻します。
- 手順：$y = f(x)$ を書き、$x$ と $y$ を入れ替え、次に $y$ について解きます。
- $f(x) = 3x - 5$: $y = 3x - 5$、入れ替え: $x = 3y - 5$、求解: $y = \dfrac{x+5}{3}$。
- よって $f^{-1}(x) = \dfrac{x+5}{3}$。確認：$f^{-1}(1) = \dfrac{6}{3} = 2$ ✓。
$f^{-1}$ は $f$ の $-1$ 乗ではありません。 記法 $f^{-1}(x)$ は「$f$ の逆」を意味し、「$\dfrac{1}{f(x)}$」ではありません。これらは全く異なるものです。
f(x) = 3x − 5 の逆関数は f⁻¹(x) = (x + 5)/3 である。f⁻¹(1) はいくつか？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
f⁻¹(1) = (1 + 5)/3 = 6/3 = 2.
f(x) の逆を求めるには、y = f(x) と書き、x と y を入れ替え、その後 ______ を主語とするように解く。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
入れ替えた後、y について解くと——それが f⁻¹(x) になる。
合成関数
- $gf(x)$ は「まず $f$ を行い、その結果に $g$ を適用する」という意味です。
- $f(x) = 2x$, $g(x) = x + 3$: $gf(x) = g(2x) = 2x + 3$.
- $fg(x) = f(x+3) = 2(x+3) = 2x + 6$。順序が重要です！
f(x) = 2x および g(x) = x + 3 がある。x = 5 における gf(x) はいくつか？（gf はまず f を適用すること）
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
gf(5) = g(f(5)) = g(10) = 10 + 3 = 13。
f(x) = 2x および g(x) = x + 3 について、gf(x) と fg(x) は同じ結果を与える。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
gf(x) = 2x + 3 だが、fg(x) = 2(x+3) = 2x + 6 となる。順序は重要である。
興味深い事実
- 恒等関数 $I(x) = x$ はすべてを変化させません。任意の関数に対して、$f \circ f^{-1} = I$ — 関数とその逆関数を合成すると、元の入力に戻ります。
ここにあるすべての曲線は関数です：各入力 $x$ に対して、ちょうど1つの出力 $y$ があります。
理解できましたか
- $f(x) = 3x - 5 \Rightarrow f(2) = 1$；定義域＝入力、値域＝出力
- 逆関数 $f^{-1}$ は $f$ の逆操作を行う：$x$ と $y$ を入れ替えてから、$y$ について解く
- 合成関数 $gf(x)$ ＝ まず $f$ を行い、次に $g$ を行う；順序が重要である（$gf \neq fg$）