微分法

変化する勾配

• 直線はどこでも同じ勾配を持つ。一方、曲線は 各点ごとに異なる勾配 を持つ。
• ニュートンとライプニッツは 「微積分学」 を発明し、「この点における曲線の勾配は何か？」という問いに答えるために用いた。その答えが 導関数 である。

べきの法則

• $y = ax^n$ なので、$\dfrac{dy}{dx} = an\,x^{n-1}$ です。
• 言葉で説明すると：指数を前に持ってきて、次に 1だけ減らす ことである。

ある点における曲線の傾きは、その点の接線の傾きであり、これが微分によって求められる値である

特別な場合

• $y = c$（定数）→ $\dfrac{dy}{dx} = 0$（水平な直線は傾きがゼロである）。
• $y = cx$ → $\dfrac{dy}{dx} = c$ （直線は一定の傾きを持ちます）。
• IGCSEのべき則はここでは非負整数の累乗および最大3項までの和に適用され、逆数関数の微分はこのカリキュラム外です。

定常点

• 静止点とは $\dfrac{dy}{dx} = 0$ となる点であり — 曲線が一時的に水平になる場所である。
• $y = x^2 - 6x + 5 \Rightarrow \dfrac{dy}{dx} = 2x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3$.
• $x = 3$ において：$y = 9 - 18 + 5 = -4$。変曲点：$(3, -4)$。

停留点とは、曲線が一瞬平坦になる点であり、傾き（導関数）がゼロとなる場所である。

微分が重要な理由

• 物理学: 速度は位置の導関数であり、加速度は速度の導関数である。
• 経済学: 限界費用は総費用の導関数であり、追加の1単位の生産にかかる費用である。
• 最適化: 利益を最大化したり費用を最小化したりするには、導関数をゼロに設定する。

接線による曲線の傾きの推定

• 必要な点で曲線に接する接線を描き、その上から2つの明確な点を選びます（曲線上の任意の2点ではありません）。立ち上がり（rise）を横ばがり（run）で割って計算します。
• $y=x^2$ における $(2,4)$ で、$(1,0)$ と $(3,8)$ を通る接線は $m=(8-0)/(3-1)=4$ を持つ。微分により、$dy/dx=2x=4$ が $x=2$ であることが確認できる。

最小値か最大値か？

• $y=x^2-6x+5$ の導関数は $2x-6$ である。$x=2$ では負、3 でゼロ、4 で正となるため、減少して増加するため $(3,-4)$ で最小値をとる。
• $y=-x^2+4x+1$に対して、$dy/dx=-2x+4$です。1では正、3では負となるため、$x=2$で最大値となり、ここで$y=5$となります。

理解できましたか