| English | 意味 |
|---|---|
| indices/ˈɪndɪsiːz/ | 指数 |
| coefficient/ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | 係数 |
| index equations/ˈɪndeks ɪˈkweɪʒnz/ | 指数方程式 |
累乗の塔
- 米粒をいくつ倍にすれば部屋がいっぱいになるか？ およそ40回倍にすると、それは $2^{40} \approx 10^{12}$ 粒になります。
- 指数法則を使えば、これらの巨大な数値を直接計算する代わりに、指数を使って扱いこなせます。
代数的指数則の実験室
用いられる規則に基づいて指数則の例を分類せよ。
3つの基本法則
- 同じ底の累乗の掛け算 → 指数を加算： $\;a^m \times a^n = a^{m+n}$。
- 同じ底の累乗の割り算 → 指数を減算： $\;a^m \div a^n = a^{m-n}$。
- 累乗の累乗 → 指数を乗算： $\;(a^m)^n = a^{mn}$。
$(5x^3)^2 = 5^2 \times (x^3)^2 = 25x^6$。指数をすべての因数、つまり係数と文字の両方に適用します。
(5x³)² = k·x⁶。係数kの値は何か。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
(5x³)² = 5² × (x³)² = 25x⁶ なので、k = 25。
a³ × a⁴ = a⁷.
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
底が同じ場合：指数を加算する。a³ × a⁴ = a^(3+4) = a⁷。
規則を完成させよ：(a^m)^n = a^(____)。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
冪の冪：指数を掛け合わせる。(a^m)^n = a^(mn)。
係数の取り扱い
- 数字部分と文字部分を分離してそれぞれ簡略化し、その後再結合します。
- $12a^5 \div 3a^{-2}$ ：数字 $12 \div 3 = 4$ ；文字 $a^5 \div a^{-2} = a^{5-(-2)} = a^7$ 。答え： $4a^7$ 。
- $6x^7y^4 \times 5x^{-5}y = 30x^{7+(-5)}y^{4+1} = 30x^2y^5$.
負の数の引き算。 $a^5 \div a^{-2} = a^{5 - (-2)} = a^{5+2} = a^7$ 。負の数を引くことは、足すことと同じです。
12a⁵ ÷ 3a⁻² を簡略化せよ。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
12/3 = 4 および a⁵ ÷ a⁻² = a^(5−(−2)) = a⁷ なので、4a⁷。
指数方程式
- 両辺を同じ底の形にし、指数を等置します。
- $2^x = 32$ を解きます： $32 = 2^5$ なので、 $x = 5$ が得られます。
- $3^{2x} = 81$ を解きます： $81 = 3^4$ 、 $2x = 4$ なので、 $x = 2$ です。
2^x = 32 を解け。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
32 = 2⁵ なので、x = 5。
3^(2x) = 81 を解け。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
81 = 3⁴ なので、2x = 4、よって x = 2。
指数法則が現れる分野
- 科学 notation は $10^a \times 10^b = 10^{a+b}$ に依存しています。
- 複利 は $(1+r)^n$ を用います — 現実世界における増幅率の累乗です。
- コンピュータサイエンス：メモリ容量は2の累乗（KB $= 2^{10}$ 、MB $= 2^{20}$ 、GB $= 2^{30}$ ）。
累乗とルートは互いに逆操作です。正方形の面積が $s^2$ で、その辺の長さが $\sqrt{\text{area}}$ です。
理解できましたか
- 掛け算 → 指数を加算；割り算 → 指数を減算；累乗の累乗 → 指数を乗算
- 係数と文字は別々に扱い、後に再結合する
- 指数方程式を解くには、両辺を同じ底の形にする
- $(5x^3)^2 = 25x^6$; $\;12a^5 \div 3a^{-2} = 4a^7$; $\;2^x = 32 \Rightarrow x = 5$