集合

2024年のクラス

• 学校に生徒が30人います。フランス語を学ぶのが18人、スペイン語を学ぶのが12人で、両方を学ぶのが5人です。
• どちらでもない人は何人ですか？単に足すだけではダメで、集合が必要です。
• 集合はグループ化のための言語であり、データベースから確率論に至るまであらゆるものの基盤となっています。

集合とは何か？

• 集合とは、固有の要素（要素またはメンバー）の集まりです。
• 波括弧で表されます： $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ 。
• $3 \in A$ は「$3$ は $A$ の元である」を意味し、$7 \notin A$ は「$7$ は含まれない」を意味します。
• 全集合 $\xi$ は議論されているすべてを含みます。空集合 $\emptyset$ は要素を持ちません。

$A\cap B=\{6\}$は両方の円に含まれる唯一の数字；$A\cup B$はどちらか一方の円内にあるすべての要素

交わりと和

• 交わり(Intersection) $A \cap B$: 両方の $A$ と $B$ に含まれる要素。
• 和(Union) $A \cup B$: $A$ または $B$ （またはその両方）に含まれる要素。
• 補集合(Complement) $A'$: 全集合にありながら、$A$ には含まれないすべての要素。

ベン図

• ベン図(Venn diagram) は、長方形（全集合）の中に重なり合う円で集合を描いたものです。
• 重なった領域＝交わり；円内のすべて＝その集合のメンバー。

ベン図は集合間の関係を示しています—ここでは、すべての自然数は整数であり、かつ有理数でもあります。

worked example（計算例）

• 30人の学生、$F =$がフランス語（18）、$S =$がスペイン語（12）、$F \cap S = 5$。
• $n(F \cup S) = 18 + 12 - 5 = 25$.
• どちらも学ばない $= 30 - 25 = 5$ 人の生徒。

3つの集合（拡張版）

• 3集合のベン図では、まず三重の重なり部分に埋め、次にちょうど2つのセットに属する部分、最後に単一セットの領域を埋めます。$n(A\cap B)=7$が2をすべて含んでいる場合、ABのみ（Cを除く）の領域は$7-2=5$となります。
• $n(A)=12,n(B)=10,n(C)=9$ について、ペアの交差 AB=4, AC=3, BC=2 およびトリプル=1 とすると、和集合は $n(A\cup B\cup C)=12+10+9-4-3-2+1=23$ となる。3つのペアの引き算で三重の部分が過剰に除かれてしまうため、再び加算する。

理解できましたか