表における期待値
- 2次元表の場合、各セルには「相関なし」の帰無仮説のもとで独自の期待度数がある。
- 計算式:
-
$$\text{expected} = \frac{(\text{row total})(\text{column total})}{\text{grand total}}$$
- 各セルについて個別に計算する。
なぜこの公式なのか？
- 帰無仮説の下では、2つの変数は 無相関 であり、各行で列の割合（スプリット）は同じである。
- よって、あるセルの期待値 = （その行の合計）$\times$ （その列の全体比率）。
- その列の比率は $\dfrac{\text{column total}}{\text{grand total}}$ である。
- 展開すると、行$\times$列$\div$/総計の公式が得られる。
各セルを確認する
- 「大きな数」の条件は、すべてのセルの期待値 $\ge 5$ に適用される。
- 観測値ではなく、また一部のセルだけでなく、すべてのセルである。
- 期待値が小さいセルが1つあっても、検定全体が無効になりうる。
- 期待値の表全体を計算し、確認する。
自由度
- 2次元表の場合、$df = (\text{rows} - 1)(\text{columns} - 1)$。
- $2 \times 3$ 表 → $df = (2-1)(3-1) = 2$。
- 辺の合計が固定された後の「自由」なセル数を数える。
- 標本サイズではなく、表の形状に依存する。
交差表における期待されるカウント数
2つの変数が独立していた場合、そのセルで期待されるカウント数を計算する。
二重分類表の$df$ は $(\text{rows}-1)(\text{columns}-1)$ であり、積である——（cell $-1$ の和ではない）。 $2\times2$ 表には $df=1$ があり、$3$ はない。また、期待度数の式では各cellについて 行合計 $\times$ × 列合計 $\div$ ÷ 全体合計 を用いる。分子になるのが何の合計か混同するのが一般的なミスである。すべての期待度数 $\ge 5$ をチェックすること。
$2\times2$ 表: 行の合計 $60, 40$; 列の合計 $50, 50$; 総計 $100$。
- 左上のセルの 期待値: $\dfrac{60 \times 50}{100} = 30$。
- 残りの4つのセルでも同様: $30, 30, 20, 20$ — すべて $\ge 5$ ✓。
- $df$: $(2-1)(2-1) = 1$.
2次元表において、各セルの期待度数 $= \frac{(\text{row total})(\text{column total})}{\text{grand total}}$ （「相関なし」の帰無仮説から導かれる）。すべての期待度数が $\ge 5$ であることを確認せよ。自由度は $(\text{rows} - 1)(\text{columns} - 1)$。
行合計60、列合計50、全体合計100。期待されるカウント数を求める（行×列／全体）。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
60 × 50 / 100 = 30.
2×3の交差表において、自由度 (r−1)(c−1) はいくつか？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
(2−1)(3−1) = 1×2 = 2.
2×2の交差表において、自由度はいくつか？
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(2−1)(2−1) = 1.
交差表のための「大きなカウント条件」には...
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すべての期待されるセルは少なくとも5以上でなければならない。
交差表の自由度はセルの数から1を引いたものではない。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
(行数−1)(列数−1)であり、積である。