| English | 意味 |
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| difference of two sample means/ˈdɪfrəns ɒv tuː ˈsæmpl miːnz/ | 2つのサンプル平均の差 |
2つの平均の比較
- 2つの母集団の平均を比較するには、2つのサンプル平均の差 $\bar{x}_1 - \bar{x}_2$ を使用します。
- その標本分布は真の差の中央に位置します: $\mu_1 - \mu_2$。
- この統計量は、ユニット7のすべての2サンプル $t$ 手続を駆動します。
- 2つのグループの平均が実際に異なるかどうかを示します。
2つのばらつきの統合
- 標準偏差は両グループの変動性を統合します:
-
$$\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}$$
- 再度分散は加算されます — 各グループは独自の $\frac{\sigma^2}{n}$ を寄与します。
- 平均の差を取っているにもかかわらず、$+$ は成り立ちます。
両サンプルの条件
- 正規性: 各 $\bar{x}$ は正規分布である必要があります — 正規母集団 or 大きな $n$ （CLT）が各グループ对于必要です。
- 独立性: 2つのサンプルは互いに独立している必要があります。
- 無代替抽出を行う場合は、各グループに対して10%条件も確認します。
- グループ$1$ とグループ$2$ について個別に確認します。
正規モデルの使用
- 条件が満たされれば、$\bar{x}_1 - \bar{x}_2$ は概ね正規分布に従います。
- 標準化: (観測された差 $-$ 真の差) $\div$ 統合標準偏差。
- 標準正規分布から確率を読み取ります。
- この基礎は、後述の2サンプル $t$ 検定と区間推定となります。
平均の差であっても分散を加算 — $\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}$ 、そして平方根をとります。引いてはいけず、標準偏差を直接加算してはいけません。また、各グループに独自の正規性の正当化（正規母集団または大きな $n$ ）が必要です — CLTは統合されたデータではなく、グループごとに満たされる必要があります。
グループ$1$: $\mu_1 = 50$, $\sigma_1 = 6$, $n_1 = 9$。グループ$2$: $\mu_2 = 45$, $\sigma_2 = 8$, $n_2 = 16$。
- 中心: $\mu_1 - \mu_2 = 50 - 45 = 5$。
- 標準偏差： $\sqrt{\dfrac{36}{9} + \dfrac{64}{16}} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} \approx 2.83$。
- 観測された差をこの中心と標準偏差に対して標準化します。
2つのサンプル平均の差 $\bar{x}_1 - \bar{x}_2$ は平均 $\mu_1 - \mu_2$ と標準偏差 $\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}$ （分散は加算）を持ちます。正規性（グループごと）と独立性の条件が満たされている場合、これを正規分布としてモデル化します — これは平均に関する2サンプル推論の基礎となります。
x-bar-1 − x-bar-2 の分布
μ1 − μ2に中心を持ち、ルートの中で2つの分散が加算される。
μ1 = 50, μ2 = 45。x-bar-1 − x-bar-2 の中心を求めよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
μ1 − μ2 = 50 − 45 = 5.
σ1=6,n1=9 および σ2=8,n2=16。SD = √(36/9 + 64/16) を求めよ。小数点以下2桁に丸める。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
√(4 + 4) = √8 ≈ 2.83.
2つの独立した標本平均の差の分散は、2つの分散の和である。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
差であっても分散は加算される：σ1²/n1 + σ2²/n2。
x-bar-1 − x-bar-2 の正規モデルに対しては、正規性が正当化される必要がある...
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
各グループには正規分布する母集団または十分な大きさの n が必要である。
2つの標準偏差をそのまま足して、差の標準偏差を得ることができる。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
SDではなく分散を加算し、その後平方根を取る。