| English | 意味 |
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| difference of two sample proportions/ˈdɪfrəns ɒv tuː ˈsæmpl prəˈpɔːʃnz/ | 2つの標本比率の差 |
2つのグループの比較
- しばしば、2つの比率を比較します。例えば、グループ$1$とグループ$2$の支持率の比較です。
- この統計量は2つのサンプル比率の差 $\hat{p}_1 - \hat{p}_2$ です。
- その標本分布は真の差の中央に位置します: $\mu = p_1 - p_2$。
- これにより、2つのグループが実際に異なるかどうかを判断できます。
ばらつきの統合
- 標準偏差は両方のサンプルの変動性を統合します:
-
$$\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1} + \frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}$$
- $+$ に注意してください: 分散は加算されます（「変数の統合」ルールに準拠）し、差であっても同様に適用されます。
- 各グループは独自の $\frac{p(1-p)}{n}$ 項を寄与します。
両方のサンプルを確認する
- 大数条件を各グループに適用します: $n_1p_1, n_1(1-p_1), n_2p_2, n_2(1-p_2)$ はすべて $\ge 10$ 以上である必要があります。
- 独立性を要件とします: 2つのサンプルは互いに独立している必要があります。
- 無代替抽出を行う場合は、各グループに対して10%条件も確認します。
- これらの条件を満たしたときのみ、$\hat{p}_1 - \hat{p}_2$ に対する正規モデルが有効になります。
正規モデルの使用
- 条件が満たされれば、$\hat{p}_1 - \hat{p}_2$ は概ね正規分布に従います。
- $z$ スコアで標準化します: (観測された差 $-$ 真の差) $\div$ 統合標準偏差。
- その後、標準正規分布から確率を読み取ります（前と同じ方法）。
- これは、2比率検定と区間推定（ユニット6）の基礎となります。
分散は加算される — 差であっても同様。 $\hat{p}_1-\hat{p}_2$ の標準偏差は、2つの $\frac{p(1-p)}{n}$ 項を**$+$** で結合し、その後平方根をとります。引くことはありません。また、大数条件を両方のグループで個別に確認します（4つの値、すべて $\ge 10$ 以上）— 一方のグループが健全だからといって、もう一方が薄いことを許容してはいけません。
$p_1 = 0.5$ ($n_1 = 100$), $p_2 = 0.4$ ($n_2 = 100$).
- 中心: $p_1 - p_2 = 0.5 - 0.4 = 0.1$。
- 標準偏差： $\sqrt{\dfrac{0.5(0.5)}{100} + \dfrac{0.4(0.6)}{100}} = \sqrt{0.0025 + 0.0024} = \sqrt{0.0049} = 0.07$。
- 数: 全部で4つ（$50, 50, 40, 60$）が $10$ を超える → 正規モデルは妥当。
2つのサンプル比率の差 $\hat{p}_1 - \hat{p}_2$ は平均 $p_1 - p_2$ と標準偏差 $\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1} + \frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}$ （分散は加算）を持ちます。大数条件と独立性の条件が両方のサンプルについて満たされている場合、これを正規分布としてモデル化します。
p-hat-1 − p-hat-2 の分布
p1 − p2に中心を持ち、2つの分散はルートの中で加算される。
p1=0.5, p2=0.4。p-hat-1 − p-hat-2 の中心（平均）を求めよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
平均 = p1 − p2 = 0.5 − 0.4 = 0.1。
p1=0.5, n1=100 および p2=0.4, n2=100 の場合：SD = √(0.0025+0.0024)。小数点以下2桁に丸める。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
√0.0049 = 0.07.
2つの比率の差の標準偏差を求めるには、2つの分散を引く必要がある。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
差であっても分散は加算され、その後平方根を取る。
p-hat-1 − p-hat-2 の正規モデルに対しては、大数条件が満たされている必要がある...
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
すべての4つの数（両方のグループ）が ≥ 10 でなければならない。
このモデルでは、2つの標本は互いに独立している必要がある。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
標本間の独立性が要求される。