| English | 意味 |
|---|---|
| sample proportion/ˈsæmpl prəˈpɔːʃn/ | 標本比率 |
| large counts condition/lɑːdʒ kaʊnts kənˈdɪʃn/ | 大数条件 |
| 10% condition/ten pəˈsent kənˈdɪʃn/ | 10%条件 |
p-hatの分布
- サンプル比率$\hat{p}$は、真の母集団比率$p$を推定します。
- その標本分布は$p$を中心に配置されます：$\mu_{\hat{p}} = p$（したがって$\hat{p}$は不偏です）。
- 異なるサンプルは異なる$\hat{p}$をもたらす——次のステップでこの広がりを定量化します。
- 適切な条件下では、この分布はほぼ正規分布になります。
その標準偏差
- $\hat{p}$の標準偏差は以下の通りです：
-
$$\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$$
- 大きな$n$ → 小さな広がり → より精密な推定値（分母の$\sqrt{n}$）。
- これは、$\hat{p}$が真の$p$から離れる典型的な距離を測定します。
大数条件（Large Counts Condition）
- $\hat{p}$に対して正規モデルを用いるには、大数条件を確認します：
-
$$np \ge 10 \quad\text{and}\quad n(1-p) \ge 10$$
- 言葉で言えば、少なくとも$10$回の成功および少なくとも$10$回の失敗が期待されます。
- いずれかの数が$10$未満の場合、標本分布は正規モデルには不適切に偏っています。
10%条件
- 無代替抽出を行う場合、10%条件 10%を確認してください。
- サンプルは母集団の**最大$10\%$**を超えてはなりません：$n \le 0.10 N$。
- これにより、SDの式が成立するため、試行を「十分に独立に近い」状態に保ちます。
- 大きな母集団の一部を切り出すことは、引き出しながらほとんど変化しません。
2つの異なる条件は、それぞれ異なる役割を果たします。 大数条件（$np\ge10$, $n(1-p)\ge10$）は正規形状を正当化し、10%条件（$n\le0.10N$）はSDの式背后的な独立性を正当化します。$\hat{p}$を正規分布としてモデリングする前に、両方を確認してください——いずれかをスキップすると、後の推論が無効になります。
母集団の$p = 0.4$が計画を支えています；あなたは$n = 100$をサンプルします。
- 中心： $\mu_{\hat{p}} = 0.4$。 SD： $\sqrt{\dfrac{0.4 \times 0.6}{100}} = \sqrt{0.0024} \approx 0.049$。
- 大数条件： $np = 40 \ge 10$ と $n(1-p) = 60 \ge 10$。 ✓ 正規分布は適切です。
- 10%条件： 母集団が$1000$を超えていれば問題ありません。
サンプル比率$\hat{p}$は$\mu_{\hat{p}} = p$と$\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$を持っています。大数条件（$np\ge10$, $n(1-p)\ge10$）が満たされるとき、または無代替抽出を行う際は10%条件（$n \le 0.10N$）も確認した上で、これを正規分布としてモデル化してください。
p-hatの抽样分布
pに中心を持ち、ばらつきは√(p(1−p)/n)；大数条件の下では正規分布に従います。
p = 0.4, n = 100。p-hatの標準偏差σ = √(p(1−p)/n) を求めよ。小数点以下2桁に丸める。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
√(0.4·0.6/100) = √0.0024 ≈ 0.049 ≈ 0.05.
p-hatの正規モデルに対する大数条件には...
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
期待される成功が少なくとも10回 AND 失敗が少なくとも10回であること。
p-hatの抽样分布の平均は真の比率 p に等しい。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
μ(p-hat) = p なので、p-hat は不偏推定量である。
無放回抽出の場合、10%条件には...
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
標本は母集団の最大10%までであるべきである。
nを増やすと、p-hatの標準偏差は小さくなる。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
nはルートの中にあるため、nが大きくなるとばらつきは小さくなる。