偏りありと偏りのない推定量

語彙

English	意味
point estimate/pɔɪnt ˈestɪmət/	点推定値
unbiased/ʌnˈbaɪəst/	不偏

パラメータの推定

ポイント推定量とは、パラメータを推定するために用いられる、サンプルから得られた単一の数値です。
$\bar{x}$は$\mu$を推定し、$\hat{p}$は$p$を推定し、$s$は$\sigma$を推定します。
それは私たちの最善の単一の推測ですが、変動する統計量からの単一の値に過ぎません。
推定量の品質は、どこで中心化されるか、そしてどれだけ変動するかによって決まります。

「不偏性」の意味

推定量が不偏性（unbiased）であるとは、その標本分布が真のパラメータを中心に位置していることを意味します。
「中心にある」というのは、推定量の平均がパラメータと等しいということです。
多くのサンプルにわたって平均すると、不偏な推定量はターゲットに命中します。
$\bar{x}$と$\hat{p}$は、それぞれ$\mu$と$p$の不偏な推定量です。

中心＝バイアス

**バイアス（偏り）**とは、特定の推測値ではなく、標本分布の中心に関わるものです。
推定量の平均がパラメータからずれている場合、それはバイアスがある（biased）——系統的に大きすぎるか小さすぎるかです。
不偏な推定量でも、特定のサンプルでは外れることがあります（これはバイアスではなく変動です）。
まず、正しい場所に中心化された推定量を目指してください。

nが増加するにつれ変動は縮小する

推定量の変動（どれほど揺らぐか）は、$n$が増加するにつれて減少します。
大きなサンプル → より狭い標本分布 → より精密な推定値。
バイアスと変動は別々の目標です：中心に命中し、かつ広がりも小さく保つ必要があります。
理想的な推定量は、不偏性を持ち、変動が小さいものです。

Watch out

バイアスと変動は異なるものです。 バイアスは標本分布の中心に関わるもの（ターゲットに命中しているか？）、変動はその広がり（推測値がどれほど揺らぐか）に関わるものです。大きなサンプルサイズは変動を縮小しますが、バイアスを修正することはできません——バイアスのある手法は、いかなる$n$においても中心からずれたままです（Unit 3の文脈参照）。

Example

母集団の平均$\mu = 100$を推定する。

$\bar{x}$は不偏です：その標本分布の平均は厳密に$100$です。
$n = 25$では推定値が広く散らばりますが、$n = 400$では$100$の周りに密集します。
同じ中心（不偏）、より小さな変動——より良い推定値です。

Key idea

ポイント推定量とは、パラメータの単一数值の推測のこと（例：$\bar{x}$による$\mu$の推定）。推定量が不偏であるとは、その標本分布の中心がパラメータと等しいことです。バイアスはこの中心に関わり、変動は広がりに関わり、$n$が大きくなるにつれて縮小しますが、大きなサンプルは決してバイアスを除去しません。

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