| English | 意味 |
|---|---|
| parameters/pəˈræmɪtəz/ | パラメータ |
二項分布の平均
- 二項変数における平均には、非常にシンプルな公式がある：
-
$$\mu_X = np$$
- 試行回数 × 成功確率 ＝ 期待される成功回数。
- コインを$100$回投げた場合、$\mu_X = 100 \times 0.5 = 50$回表が出ると予想される。
二項分布の標準偏差
- 標準偏差は以下の通り：
-
$$\sigma_X = \sqrt{np(1-p)}$$
- 成功回数が一般的にどれだけ変動するかを示す指標である。
- これら2つのパラメータ（$\mu_X$, $\sigma_X$）が、二項分布全体を要約する。
形状
- 形状は$p$に依存し、$p = 0.5$では分布は対称的になります。
- ⟨$p < 0.5$→右に歪む；$p > 0.5$→左に歪む⟩。
- ⟨$n$が大きくなるにつれ、形状はより対称的で釣鐘状（ベル型）になる（$p$が歪んでいても同様）。
- 大きな$n$に対するほぼ正規の形状は、後の単元での推論の根拠となります。
文脈に基づいて解釈する
- 常に問題の言葉を使ってパラメータを述べる。
- ⟨$\mu_X$⟩：「平均して約$np$回の成功が得られる expected」。
- ⟨$\sigma_X$⟩：「成功回数は通常、約$\sigma_X$だけ変動する」。
- 数字自体だけでは意味がなく、実際の状況に結びつけて初めて価値を持つ。
整った公式$\mu=np$と$\sigma=\sqrt{np(1-p)}$は二項設定にのみ適用される。一般の乱数変数には使わず、かつBINS条件の確認が完了してから使用すること。なお、標準偏差は$p(1-p)$を使用する：$p=0.5$で最大となり、$p$が$0$または$1$に近づくにつれて小さくなる（極端な$p$は回数の予測可能性を高める）。
自由 Throw の選手は$p = 0.8$で入る。彼女は$n = 25$回のシュートを行う。$X =$回入る。
- 平均： $\mu_X = 25 \times 0.8 = 20$回入ると予想される。
- 標準偏差： $\sigma_X = \sqrt{25 \times 0.8 \times 0.2} = \sqrt{4} = 2$。
- 形状： $p = 0.8 > 0.5$ → 左に歪む；$n=25$であれば比較的釣鐘状。
二項変数におけるパラメータは$\mu_X = np$と$\sigma_X = \sqrt{np(1-p)}$である。形状は$p=0.5$で対称的、それ以外では歪み、$n$が大きくなると釣鐘状に近づく。常に$\mu_X$と$\sigma_X$を文脈に基づいて解釈せよ — 期待される成功回数と、その典型的な変動幅。
二項分布の形状
p ≠ 0.5 の場合、分布は歪んでおり、nが大きくなるほど釣鐘型に近づく。
二項分布で n = 25, p = 0.8 のとき、平均 np を求めよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
μ = np = 25 × 0.8 = 20。
n = 25, p = 0.8 のとき、標準偏差 √(np(1−p)) を求めよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
√(25·0.8·0.2) = √4 = 2.
二項分布が完全に左右対称になるのは…
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
p = 0.5 のとき、分布は対称となる。
nが増加するにつれて、二項分布はより釣鐘型（対称性が高い）になる。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
大きなnは形状を正規分布に近づける。
二項分布の標準偏差 √(np(1−p)) が最大になるのは…
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
p(1−p) は p = 0.5 でピークを迎える。