| English | 意味 |
|---|---|
| linear transformation/ˈlɪnɪə trænsfɔːˈmeɪʃn/ | 線形変換 |
拡大とシフト
- 線形変換$aX + b$ は、$a$倍して$b$だけシフトします。
- 平均： $\mu_{aX+b} = a\,\mu_X + b$ — 拡大もシフトも平均に影響します。
- 標準偏差： $\sigma_{aX+b} = |a|\,\sigma_X$ — 拡大はばらつきを広げますが、シフトは広げません。
- 定数を加えると中心は移動しますが、ばらつきは変わりません。
和と差の平均
- 平均は常に加算（または減算）されます：条件は不要です。
-
$$\mu_{X+Y} = \mu_X + \mu_Y \qquad \mu_{X-Y} = \mu_X - \mu_Y$$
- 変数が独立かどうかに関わらず、期待値は線形的に結合されます。
- これは法則の中で、常に成り立つ易しい部分です。
和と差の標準偏差
- 分散は独立した変数に対して加算されます：差の場合でも同様です。
-
$$\sigma_{X \pm Y}^2 = \sigma_X^2 + \sigma_Y^2$$
- さらに$\sigma_{X\pm Y} = \sqrt{\sigma_X^2 + \sigma_Y^2}$。
- $+$ に注意してください：変数を引いても、分散は足し合わせます。
独立正規分布の合成
- 独立正規乱変数の和または差もまた正規分布になります。
- その平均と標準偏差は上記の規則（$\mu$は加減算；分散は加算）から求められます。
- したがって、統合変数の確率は正規モデルを使って求めることができます。
- これにより、多くの2変数の問題を一つのきれいなステップで解くことができます。
2つの罠。 (1) 変数を引くときでも、それらの分散を足す必要があります（$\sigma_{X-Y}^2=\sigma_X^2+\sigma_Y^2$）— 決して分散を引いてはいけません。(2) 標準偏差をそのまま足してはいけません（$\sigma_X+\sigma_Y$は誤り）— 分散を足してから平方根を取ってください。両方のルールは変数が独立していることが必須です。
$X$（平均$10$、標準偏差$3$）と$Y$（平均$4$、標準偏差$4$）は独立しています。
- $X-Y$ の平均： $10 - 4 = 6$。
- 分散： $\sigma_X^2 + \sigma_Y^2 = 9 + 16 = 25$ （差であっても加算します）。
- $X-Y$ の標準偏差： $\sqrt{25} = 5$。
線形変換：$\mu_{aX+b}=a\mu_X+b$ですが$\sigma_{aX+b}=|a|\sigma_X$（シフトはばらつきに影響しません）。平均は常に加減算されます；独立変数については分散は加算されます（$\sigma_{X\pm Y}^2=\sigma_X^2+\sigma_Y^2$）— 差の場合でも同様です。独立正規変数の組み合わせは正規分布になります。
結合正規変数
独立正規変数の和/差自体も正規分布に従う。
X の平均が 10、Y の平均が 4 です。X − Y の平均を求めよ。
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平均は引き算：10 − 4 = 6。
X の SD が 3、Y の SD が 4 で独立です。X − Y の SD を求めよ。
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分散は加算：9 + 16 = 25 なので、SD = √25 = 5。
二つの独立確率変数を引く際、分散を引いてはいけない。
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差であっても、分散は加算する — 決して引いてはいけない。
変換 2X + 5 について、標準偏差は...
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SD は |a| でスケールされるが、シフト +5 はばらつきに影響しない。
独立変数の標準偏差を結合する場合、SD をそのまま足してはいけない。
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分散を加算してから平方根をとる — SD を直接足してはいけない。