| English | 意味 |
|---|---|
| expected value/ekˈspektɪd ˈvæljuː/ | 期待値 |
| variance/ˈveərɪəns/ | 分散 |
長期平均
- 平均（期待値） は、乱数変数の長期平均的な結果である。
- 平均$\mu_X$または分散$E(X)$ — 分布の中心点。
- これは加重平均です：各値にその確率を掛け合わせて計算します。
- 反復回数を増やすと、結果の平均は$\mu_X$に収束していきます。
平均の計算
-
$$\mu_X = \sum x_i \, P(x_i)$$
- 各値に確率を掛けて足し合わせます。
- 平均が必ずしもあり得る値であるとは限りません（「$2.5$人の子供を持つ家族」というような場合）。
- 平均は単一の試行の結果を予測するものではありません。
分散と標準偏差
- 分散$\sigma_X^2 = \sum (x_i - \mu_X)^2 \, P(x_i)$ は、平均からの二乗した距離の確率加重平均です。
- 標準偏差 $\sigma_X = \sqrt{\sigma_X^2}$ は、これを元の単位に戻すために用いられます。
- 大きい$\sigma_X$ ＝ 平均の周りに結果がより広くばらついていることを意味します。
- 偏差を二乗して確率で重み付けし、合計してから平方根を取ります。
標準偏差の解釈
- $\sigma_X$ は、結果が平均$\mu_X$からどのくらい離れているかの一般的な距離です。
- 小さい$\sigma_X$：結果は期待値の近くに密集しています。
- 大きい$\sigma_X$：結果は試行ごとに大きく変動します。
- $\mu_X$（中心）と$\sigma_X$（ばらつき） together で、分布全体を要約できます。
期待値は長期的な平均であり、保証される結果や、実際にはあり得ない結果でもあります。$E(X)=2.5$人の子供とは、平均として多くの家族を合わせた値であり、特定の家族が$2.5$人の子供を持っているという意味ではありません。また、標準偏差は分散から求めます：まず偏差を二乗して重み付けし、合計してから最後に平方根を取る — 原始の距離をそのまま平均してはいけません。
ゲーム：$5$ ドルに勝つ確率が $0.2$ で、そうでない場合は $0$ ドルに勝つ。賞金を $X$ とする。
- 平均： $\mu_X = 5(0.2) + 0(0.8) = 1$ドル — 長期的な平均配当額。
- 分散： $(5-1)^2(0.2) + (0-1)^2(0.8) = 3.2 + 0.8 = 4$。
- 標準偏差： $\sigma_X = \sqrt{4} = 2$ドル — ⟨$1$⟩平均からの一般的な距離。
平均（期待値）$\mu_X = \sum x_i P(x_i)$ は長期的な平均であり、必ずしもあり得る値ではない確率加重平均です。分散$\sigma_X^2 = \sum (x_i-\mu_X)^2 P(x_i)$と標準偏差$\sigma_X = \sqrt{\sigma_X^2}$ は、結果が$\mu_X$からどの程度離れているかの一般的な距離を表します。
確率で値に重み付けする
平均は、この重み付けされた分布の釣り合い点である。
X は 5 と勝つ確率が 0.2、そうでない場合は 0 です。平均 E(X) = 5(0.2)+0(0.8) を求めよ。
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5(0.2) + 0(0.8) = 1.
平均が 1 の場合、分散 = (5−1)²(0.2)+(0−1)²(0.8)。その後、標準偏差を求めよ。
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分散 = 3.2 + 0.8 = 4 なので、SD = √4 = 2。
確率変数の期待値は、必ずしもその可能な値の一つである必要はない。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
それは長期平均であり — 例：2.5人の子供 — 達成不可能であっても構わない。
確率変数の標準偏差は、...を測る。
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SD = 平均周りの典型的なばらつき。
確率変数の平均は、その ___ 値（一語）とも呼ばれる。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
平均 = 期待値 = 長期平均。