| English | 意味 |
|---|---|
| mutually exclusive/ˈmjuːtʃuːəli eksˈkluːsɪv/ | 排反 |
| disjoint/dɪsˈdʒɔɪnt/ | 非交 |
| addition rule/əˈdɪʃn ruːl/ | 加法定理 |
| union/ˈjuːnɪən/ | 和集合 |
重複できない事象
- 2つの事象が 排反（互いに排他的） であるとは、それらが 同時に起こり得ない ことを意味します。
- サイコロを振る際、「$2$が出る」ことと「$5$が出る」ことは、1回の投擲で同時に発生しません。
- ベン図において、排反な事象は重なり合わない円として描かれます。
- その共通部分は空集合です：$P(A \cap B) = 0$。
一般加法定理
- $P(A \text{ or } B)$ — 和集合 — を求めるには、加法定理 を使用します：
-
$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$
- 重なり部分を引くことで、二重カウント を防ぎます。
- このルールは、重なりがあるかどうかに関わらず、任意の 2つの事象に適用できます。
排反の場合の簡易法
- $A$ と $B$ が 排反 である場合、その重なりは$0$です。
- そのため、ルールは$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$に単純化されます。
- 単に加算すればよく、引く必要はありません。
- この簡易法は、事象が本当に同時発生不可能な場合に限り有効です。
表や図からの読み取り
- 二項表やベン図から直接必要な数値を読み取ることができます。
- $P(A)$, $P(B)$ および重なり $P(A \cap B)$ を読み取り、ルールを適用します。
- 重なりは、両方の 事象に所属するセル（または領域）です。
- 重なり部分の careful bookkeeping（注意深い記録）が、この問題の解法の鍵です。
重なり部分を引のを忘れないでください。 一般加法定理は$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$です；$-P(A\cap B)$を省略すると重なりが 二重カウント され、確率が過大評価されます。事象が 排反（重なり$=0$） の場合のみ、単純に加算しても構いません。簡易法を選ぶ前に、重なりがないか確認してください。
1枚のカードを引き出す。$P(\text{king}) = 4/52$、$P(\text{heart}) = 13/52$、$P(\text{king and heart}) = 1/52$。
- 和集合: $P(\text{king or heart}) = \tfrac{4}{52} + \tfrac{13}{52} - \tfrac{1}{52} = \tfrac{16}{52}$。
- $-\tfrac{1}{52}$は、ハートのキングという、両方の 事象に含まれるカードを取り除いています。
- 対照的に、「キング」と「クイーン」は 排反 であるため、単に加算すればよい。
事象が 排反（互いに排他的） であるとは、同時発生できないことを意味するため、$P(A \cap B) = 0$となります。加法定理 $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$は 和集合 を求めるために用いられ、排反な事象については$P(A) + P(B)$に単純化されます。重なりが本当にゼロでない限り、常に引き算を行ってください。
二つの事象の和集合
和集合とは A または B に含まれるすべてであり、重複部分を一度だけ引きます。
P(A)=0.3, P(B)=0.4, P(A and B)=0.1 です。P(A or B) を求めよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
0.3 + 0.4 − 0.1 = 0.6.
二つの事象が排反である場合、P(A and B) は...
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
排反事象は同時に発生できないため、その积集合（共通部分）は 0 です。
排反事象で P(A)=0.2、P(B)=0.5 のとき、P(A or B) を求めよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
排反なら単に足す：0.2 + 0.5 = 0.7。
どのような二つの事象についても、P(A or B) = P(A) + P(B) で、引き算は不要です。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
事象が排反でない限り、重複部分を引かなければなりません。
同時に起こることのできない事象を互いに ___ と呼ぶ。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
排反（Mutually exclusive）＝ 離散的（disjoint）＝ 同時に occurrence しない。