| English | 意味 |
|---|---|
| normal distribution/ˈnɔːml ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | 正規分布 |
| empirical rule/emˈpɪrɪkl ruːl/ | 経験則 |
| standard normal/ˈstændəd ˈnɔːml/ | 標準正規分布 |
有名なベル曲線
- 身長、測定誤差、テスト得点などの多くの実変数は ベル型 のパターンに従う。
- 正規分布 は理想的なベル曲線で、その中心について対称である。
- 2つの数値で完全に記述される： 平均 $\mu$（中心）と 標準偏差 $\sigma$（ばらつき）。
- 多くのデータがこの形状をとるため、正規モデルは統計学の主力である。
A normal distribution is completely described by its...
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Two numbers: $\mu$ (center) and $\sigma$ (spread).
経験則（68–95–99.7）
- 正規分布において、経験則 は平均から標準偏差いくつかの範囲にどの程度のデータが含まれるかを示す：
- $68\%$ が平均から標準偏差 $1$ 内にあるのは約
- 約**$95\%$が$2$標準偏差内に、約$99.7\%$が$3$**標準偏差内にある。
- これら3つの数値を使えば、電卓なしで比率を推定できる。
The normal bell curve
Shade a normal curve by z-score — about 68% lies within 1 SD, 95% within 2, 99.7% within 3.
About what percent of a normal distribution lies within $1$ standard deviation of the mean?
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The empirical rule: about $68\%$.
About what percent lies within $2$ standard deviations of the mean?
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About $95\%$ within $2$ SDs.
zスコアと標準正規分布
- いかなる値も $z$-スコア $z=\frac{x-\mu}{\sigma}$ に変換できる——これは標準偏差単位での平均からの距離である。
- 標準正規分布 は平均 $0$ と標準偏差 $1$ を持ち、標準化すればあらゆる正規曲線がこれに変換される。
- $z$-表（または技術的ツール）を使って、$z$得点を割合やパーセンタイルに変換します。
- これは「$x$以下の得点の割合はいくつか」を見つける方法です。
For $\mu=170$, $\sigma=8$, find the $z$-score of $x=186$.
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$z=(186-170)/8=2$.
The standard normal distribution has mean $0$ and standard deviation ____.
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Standardizing gives mean $0$, SD $1$.
は正規モデルとして妥当か？
- すべてが正規分布というわけではありません。推定する前に確認してください。
- およそ対称で、釣鐘型、単一ピークのグラフは、正規モデルを裏付けます。
- 強い歪み、複数のピーク、あるいは極めて外れた値がある場合、正規モデルは適合性が poor です。
- まずデータの形状を評価し、経験則と$z$-表はおよそ正規である場合にのみ適用されます。
A normal model is a poor fit when the data are...
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Skew or multiple peaks break the normal assumption.
経験則と$z$-表の割合は**(およそ)正規**な分布にのみ適用され、強い歪みのあるデータには使用しないでください。また、経験則は68–95–99.7（$1$、$2$、$3$標準偏差順）であり、順序を間違えると誤りになります。常に$z=\frac{x-\mu}{\sigma}$で標準化してから表を読み取ってください。
身長は$\mu=170$ cm、$\sigma=8$ cmの正規分布に従います。$162$から$178$ cmの間の割合はいくつですか？
- $162=170-8$と$178=170+8$ — 平均からちょうど$1$標準偏差下位および上位です。
- 経験則によると、身長の約**$68\%$**が$1$標準偏差の範囲内に収まります。
- およそ$68\%$個が$162$から$178$cmの間に存在する。
正規分布は、平均$\mu$と標準偏差$\sigma$によって決まる対称的な釣鐘曲線です。経験則（68–95–99.7）は$1$/$2$/$3$標準偏差内の割合を示します。$z$-スコア$z=\frac{x-\mu}{\sigma}$で標準化し、標準正規分布を用いて正確な割合を求めますが、これは正規モデルがデータに適切に当てはまる場合に限り利用します。