| English | 意味 |
|---|---|
| mean/miːn/ | 平均 |
| median/ˈmiːdiːən/ | 中央値 |
| Range/reɪndʒ/ | 極差 |
| Standard deviation/ˈstændəd ˌdiːvɪˈeɪʃn/ | 標準偏差 |
| resistant/rɪˈzɪstənt/ | ロバスト性 |
データを要約する数値
- グラフは形状を示し、要約統計量は分布を数個の重要な数値に集約する。
- 2つの役割： 中心（典型的な値）を測定し、ばらつき（変動の度合い）を求めること。
- 使用する数値は形状によって異なる — 特に関係ない外れ値の有無。
- これらの要約は、それ以降のすべての推論の backbone となる。
中央値の指標
- 平均値 $\bar{x}$ は算術平均である：すべての値を加えて、個数で割る。
- 中央値 は、データを並べ替えたときの真ん中の値である（偶数個の場合は真ん中の2つの平均を取る）。
- 対称な分布では近い値になるが、歪んだ分布では異なる。
- 平均値は長い尾の方向に引き寄せられ、中央値はそのまま留まる。
データの中心とばらつき
平均値と中央値が中心を示し、範囲、IQR、標準偏差がばらつきを測定します。
$4, 5, 6, 7, 100$ の中央値を求めよ。
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ソートされたデータの中央値は $6$ です。
$4,5,6,7,100$において、平均値（$24.4$）は値 $100$ によって上方に引きずられます。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
平均値は極端な値に敏感です。
ばらつきの指標
- 極差 = 最大値 − 最小値（単純だが、極端な値に敏感）。
- IQR（四分位範囲）$=Q_3-Q_1$ — 中央の$50\%$ のばらつき。
- 標準偏差 $s_x$ — 値が平均値からどれだけ離れているかの典型的な距離。
- ばらつきの数値が大きいほど、変動性が大きい。
データセットが $Q_1=5$ と $Q_3=7$ の場合、IQR を求めよ。
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$\text{IQR}=Q_3-Q_1=7-5=2$.
耐性あり vs. 感度あり
- 中央値とIQRは耐性がある — 外れ値でもほとんど動かない。
- 平均値と標準偏差は感度が高い — 1つの極端な値で大きく変化する。
- したがって、歪んだデータや外れ値を含むデータには、中央値とIQRを報告する。
- 外れ値ルール: 値が$Q_1-1.5\times\text{IQR}$以下または$Q_3+1.5\times\text{IQR}$以上であれば、それは外れ値である。
どの測度が外れ値に対して 耐性 がありますか？
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中央値とIQRは外れ値に耐性を持ちますが、平均値とSDはそうではありません。
$1.5\times\text{IQR}$則により、高い外れ値とは…より大きい値である。
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四分位から測定する: $Q_3+1.5\,\text{IQR}$。
強い歪みを持つデータの場合、最適な中心/ばらつきの要約は……です。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
耐性を持つ測度は、歪んだデータに適しています。
形状に合わせた要約Matching： 歪んだデータや外れ値には、耐性のある中央値とIQRを使用 — 平均値と標準偏差は極端な値に引きずられる。そして、$1.5\times\text{IQR}$ ルールは平均値ではなく四分位数（$Q_1,Q_3$）から測る： 値が$Q_1-1.5\,\text{IQR}$以下または$Q_3+1.5\,\text{IQR}$以上なら标记する。
データ：$4, 5, 6, 7, 100$。
- 平均値 $=\tfrac{4+5+6+7+100}{5}=24.4$（$100$によって引き上げられる）。中央値 $=6$（影響を受けない）。
- 中央値（$6$）の方が、ここでは典型的な値をよりよく表している。
- $Q_1=5$、$Q_3=7$、$\text{IQR}=2$ を用いて：$100>7+1.5(2)=10$、したがって $100$ は**外れ値（outlier）**である。
中央（center）を平均（mean） $\bar{x}$ または中央値で、ばらつき（spread）を極差（range）、IQR $=Q_3-Q_1$、または標準偏差（standard deviation） $s_x$ で要約せよ。中央値とIQRは外れ値に対してロバスト（抵抗性がある）——平均と標準偏差はそうではないため、歪んだデータではこれらを優先せよ。外れ値は**$1.5\times\text{IQR}$ ルール**で警告せよ。