| English | 意味 |
|---|---|
| rate of change/reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | 変化率 |
| polar function/ˈpəʊlə ˈfʌŋkʃn/ | 極関数 |
半径はどれくらい速く変化するか？
- 極曲線上では、角度が一周するにつれて半径は上昇したり下降したりします。
- 「$r$ は角度あたりどれくらい速く変化しているか？」という質問は、変化率です。
- これは曲線が外側へ卷き出しているのか、内側へ卷き入っているのか、あるいは一定なのかを示します。
- これは、Unit 1 の変化率の概念を極座標の世界に結びつけます。
r の平均変化率
- 極座標関数 は $r = f(\theta)$ なので、$r$ が $\theta$ に対してどのように変化するかを測定できます。
- 区間における平均変化率は $\dfrac{\Delta r}{\Delta \theta}$ —— 半径の変化量を角度の変化量で割ったもの。
- 正の値は半径が増加していることを意味し、負の値は減少していることを意味します。
- それは「出力÷入力」の比率そのものであり、 $r$ と $\theta$ に適用される。
$\theta$が増加する際、$r$が増加している場合、曲線は…
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半径が大きくなることは、点が外側へ離れることを意味し、曲線は外側へ螺旋を描きます。
外へ卷き出すか内へ卷き入るか
- $r$ が $\theta$ の増加とともに増加する場合、曲線は原点から遠ざかり、外側へ螺旋します。
- $r$ が減少する場合、曲線は极点に向かって内側へ卷き入ります。
- $r = \theta$ のような螺旋は、常に正の変化率を持つため、永遠に広がります。
- 変化率の大きさは、曲線が卷き入る速さを決めます。
角度が扫過するにつれて半径が増大する様子を見る
螺旋曲線において、θが増加するにつれてrも増加します。rの変化率は、曲線が外側へ巻いていく速さを決定します。
$r$ の $\theta$ 区間における平均 変化率 は $\dfrac{\Delta r}{\Delta \theta}$ です。これは、半径の変化量を ____ の変化量で割ったものです。
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これは単位あたりの角度ごとの半径の変化度を測り、極座標における傾きの役割を果たします。
極関数における変化率に関する正しい記述をすべて選択してください。
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$r$が一定であれば円弧を描くものであり、外側への螺旋ではありません。残りの3つは正しいです。
変化率がゼロの場合
- $r$ の変化率がゼロとなる地点では、半径は一時的に一定となります。
- 区間で一定の半径を描くことは、円の弧を表します。
- したがって、$r$における平坦な部分は、曲線の丸みを帯びた円形の一部として表示されます。
- $r$の山と谷は、曲線が最も外側にあるか、最も内側にある場所です。
$r$ が $\theta$ の増加とともに減少する場合、曲線は原点に向かって内側へ巻き込む。
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半径が縮小すると、点は極点へと引き寄せられ、曲線は内側へ巻いていきます。
区間において$r$の変化率がゼロである場合、その部分の曲線は…
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変化率がゼロということは$r$が一定であることを意味し、点は同じ距離を保ち続けるため、円弧となります。
運動の読み取り
- $r$を$\theta$と比較して、極曲線がどのように振る舞うかを予測します。
- $r$の上昇：外向きに伸びる花弁やループ。$r$の低下：中心への戻り。
- $r$のゼロ交差点は、曲線が原点を通る場所です。
- 変化率は静的な画像を、運動の物語に変えます。
ここで言う比率とは、曲線に沿った点の速さではなく、角度あたりの半径の変化量である。大きな $\tfrac{\Delta r}{\Delta\theta}$ は原点からの距離が急激に変化していることを意味する——これは曲線内を移動する速さを直接測定するものではない。
螺旋 $r = \theta$ において、 $\theta = 1$ と $\theta = 3$ における半径を比較せよ。
- $r$は$1$から$3$へ変化し、$\theta$は$1$から$3$へ進みます。
- $= \dfrac{3 - 1}{3 - 1} = 1$の平均変化率：半径はラジアンあたり1単位増加します。
- 正で一定であるため、螺旋は一定のペースで外側に開いていきます。
極関数 $r = f(\theta)$ における平均的な変化率 $\tfrac{\Delta r}{\Delta\theta}$ は、半径が角度に対してどのように変化するかを示す：正 → 外側へ螺旋状に広がる、負 → 内側へ、零 → 円弧となる。これは、Unit 1 の変化率の概念を $r$ と $\theta$ に適用したものである。