| English | 意味 |
|---|---|
| polar function/ˈpəʊlə ˈfʌŋkʃn/ | 極関数 |
| rose/rəʊz/ | ロゼータ曲線 |
| cardioid/ˈkɑːdɪəʊɪd/ | 心形線 |
| polar coordinates/ˈpəʊlə kəʊˈɔːdɪnəts/ | 極座標 |
花のように開く曲線
- 直交グラフでは、$y$ が $x$ に依存します。極グラフでは、半径 が 角度 に依存します。
- 角度が一周すると、半径は増減し、驚くべき形を描きます。
- 花、心臓、螺旋はすべて単純な極方程式から現れます。
- これらの曲線は $x$ と $y$ では書きにくく、$r$ と $\theta$ では易しいです。
極関数とは何か
- 極関数は $r = f(\theta)$ の形をしており、各角度に対して半径を提供します。
- 描画するには、$\theta$ を一周させて、その方向に $r$ の距離にある点をプロットします。
- $r$ が大きいところでは曲線は外側まで達し、$r = 0$ 的地方では原点に触れます。
- 全体のプロットは、角度ごとに一つずつ積み上げられます。
極関数 $r = f(\theta)$ は、各角度に対して…を与える。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
極関数は入力された各角度に対して半径を出力し、$(f(\theta), \theta)$ をプロットすることで曲線が描かれる。
単純な極方程式 $r = 3$ （定数）は円である。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
あらゆる角度で一定の半径を描くと、原点の周りにその半径の円ができる。
バラ曲線和其他形状
- $r = a\sin(k\theta)$ または $a\cos(k\theta)$ は バラ曲線（花びらのある花）を描きます。
- $k$ が奇数の場合、花びらは $k$ 枚；$k$ が偶数の場合、花びらは $2k$ 枚です。
- $r = a(1 + \sin\theta)$ は心臓形の カージオイド を描きます。
- 定数 $r = a$ は、単に半径 $a$ の円です。
極曲線を花弁ごとに描く
極関数は各角度 theta に対して r を設定する。theta を一周させると、半径がローズ、円、または螺旋を描く。
曲線 $r = a\sin(3\theta)$ は花弁が何枚あるローズか？
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$r = a\sin(k\theta)$ において $k$ が奇数の場合、ローズはちょうど $k$ 枚の花弁を持つ — ここでは $3$ 。
心臓形の極曲線 $r = 1 + \sin\theta$ は ____ と呼ばれる。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
カルディオイド（「心臓形」）は、形 $r = a(1 + \sin\theta)$ の古典的な極曲線である。
極グラフについて正しい文をすべて選択せよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
極グラフには円、ローズ、カルディオイド、螺旋が含まれる — 直線は稀である。残りの3つは正しい。
点ごとにプロットする
- 表を作成します：角度を選び、各角度における $r$ を計算し、点をプロットします。
- $r = 0$ （曲線が原点を通る場所）と $r$ （最大値をとる場所）に注意してください。
- $\theta$ の増加順に点を滑らかに結んでいきます。
- パターンは通常、一周後（あるいは偶数のバラの場合は半周後）に繰り返されます。
対称性を利用する
- 多くの極曲線は軸について対称であり、これによりプロットの作業が半分になります。
- $\sin$ の曲線は垂直軸について対称であることが多く、$\cos$ の曲線は水平軸について対称です。
- 対称性に気づくと、一部分だけスケッチして残りを鏡像で描くことができます。
- 極座標への変換戻しにより、各特徴が正確にどこにあるかを確認できます。
極グラフを直交グラフのように読まないでください。原点への「ループ」は、関数が未定義になったことではなく、$r$ が $0$ を通ったことを意味します。また、一つの点は複数の異なる角度で到達できるため、同じ曲線が一度以上描かれることがあります。
$r = 2\cos\theta$ を $0 \le \theta \le \pi$ 上でスケッチしてください。
- $\theta = 0$ において：$r = 2$ （$2$ 単位右の点）。
- $\theta = \tfrac{\pi}{2}$ において：$r = 0$ （原点）。
- 这些点は、原点の右側に配置された直径 $2$ の円を描きます。
極関数 $r = f(\theta)$ は、各角度に対して半径を提供します。$\theta$ を一周させると、バラ曲線（$r = a\sin k\theta$）、カージオイド（$r = a(1+\sin\theta)$）、螺旋などが描かれます。極座標を用いて点ごとにプロットし、対称性を利用してスケッチを加速してください。