| English | 意味 |
|---|---|
| identity/aɪˈdentɪti/ | 恒等式 |
| equivalent/ɪˈkwɪvələnt/ | 同値 |
| Pythagorean identity/ˈpaɪθəɡɔːrɪən aɪˈdentɪti/ | ピタゴラスの恒等式 |
| sine/saɪn/ | 正弦 |
| cosine/ˈkəʊsaɪn/ | 余弦 |
同じ式の二つの表情
- 同一の三角関数量は、見た目は违うが等しい多くの方法で书くことができます。
- $\sin^2\theta$ は $1 - \cos^2\theta$ に、$\tan\theta$ は $\tfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ に变换できます。
- これらの変换は恒等式によって可能になります—— あらゆる 角度に対して真となる等式です。
- 適切な形を選ぶことで、难しい问题を简单的な问题に変換できます。
恒等式とは何か
- 三角関数の 恒等式 とは、すべての 有効な角度に対して真となる等式です。
- これは特殊な角度のみで成り立つ方程式とは异なります。
- 恒等式によって结ばれた2つの式は、どこでも 等価 です。
- よって、役に立つ场合にどちらかへ置き换えることができます。
三平方の定理（ピタゴラスの恒等式）が成り立つ様子を見る
どのような角度でも、単位円上の点は cos² + sin² = 1 を満たす — これは主要な三角関数の恒等式である。
三角関数の恒等式とは、以下の条件を満たす方程式である…
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恒等式は有効な入力すべてに対して成り立ち、特定の値を求めるための方程式とは異なる。
ピタゴラスの恒等式
- 根本となる恒等式は ピタゴラスの恒等式 です：$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$。
- これは単位圆から直接得られます。ここで $(\cos\theta, \sin\theta)$ は半径 $1$ を持っています。
- 整理すると、$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ と $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ が得られます。
- $\cos^2$ または $\sin^2$ で除算することで、セカントとコセカントの形が生まれます。
**三平方の定理（ピタゴラスの恒等式）**は以下を述べる…
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
単位円上の点 $(\cos\theta, \sin\theta)$ は半径 $1$ であるため：$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$。
三角関数の恒等式について正しい文をすべて選択せよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
恒等式はすべての角度に対して真であり、1つだけではない。残りの3つは正しい。
恒等式の工具箱
- 逆数の恒等式：$\sec = \tfrac{1}{\cos}$ など。
- 商の恒等式：$\tan\theta = \tfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$。
- 偶関数・奇関数：$\sin(-\theta) = -\sin\theta$、$\cos(-\theta) = \cos\theta$。
- これらを合わせれば、ほぼあらゆる三角関数式を新しい形に書き换えることができます。
$\sin\theta = 0.6$ 場合、三平方の定理から $\cos^2\theta = 1 - 0.36 =$ ____ 。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - 0.36 = 0.64$ 、したがって $\cos\theta = \pm 0.8$ 。
恒等式を用いることで、三角関数式を同等の別の形に書き換えられ、計算しやすくなる。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
これが主な用途である：等しい形に置き換えて式を簡略化したり、方程式を解いたりする。
恒等式の活用
- 简略化するには、部分ごとに等しい形に置き换えて、 collapse（崩れ落ちる）まで続けます。
- 方程式を解くには、全てをある一関数（例：すべてサイヌ）で书き换えます。
- 恒等式を検证するには、片侧を変形して他方と一致させるまで続けます。
- サイヌ と コサイン の形を目指すのが、通常最も安全です。
恒等式は すべての 角度に対して成り立つため、両侧はどこでも一致している必要があります——単一の値を代入して「证明」することはできません。$\theta = 0$ をテストすれば、虚偽の恒等式を 否定 できますが、一つの角度を確認しても真の恒等式を确认することは never できません。
$\sin\theta = 0.6$ が与えられ、$\theta$ が锐角の时、$\cos\theta$ を见つけなさい。
- ピタゴラスの恒等式：$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - 0.36 = 0.64$。
- よって $\cos\theta = \pm\sqrt{0.64} = \pm 0.8$。
- $\theta$ は锐角なので、コサインは正です：$\cos\theta = 0.8$。
三角関数の 恒等式 は、すべての角度に対して真となるため、式を 等価 な別の式へ置き换えることができます。根本となる恒等式は ピタゴラスの恒等式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ です；これに逆数の恒等式と商の恒等式を組み合わせることで、あらゆる三角関数式を サイヌ と コサイン の形に書き换えることができます。