| English | 意味 |
|---|---|
| reciprocal/rɪˈsɪprəkl/ | 逆数 |
| secant/ˈsiːkənt/ | 正割 |
| cosecant/ˈkəʊsekənt/ | 余割 |
| cotangent/ˈkəʊtændʒənt/ | 余切 |
| vertical asymptote/ˈvɜːtɪkl ˈæsɪmptəʊt/ | 垂直漸近線 |
対称による三つの追加
- 正弦、余弦、正接には、これらを対称移動して作られる三つのパートナーがあります。
- 新しい関数はすべて、元のいずれかを $1$ で割ったものに過ぎません。
- 比が「逆」に書いた方が简单な场合に现れます。
- 它们のグラフは、元々がゼロを切った场所から垂直アシンптートトを继承します。
3つの逆数関数
- セカント は コサイン の 逆数 です：$\sec x = \dfrac{1}{\cos x}$。
- コセカント は サイヌ の逆数です：$\csc x = \dfrac{1}{\sin x}$。
- コタンジェント は タンジェント の逆数です：$\cot x = \dfrac{1}{\tan x} = \dfrac{\cos x}{\sin x}$。
- 便利な记忆法：「co-」と基本関数は永远に一致しません（セカントはコサインとペアになります）。
セカントの逆数であるコサインの波
y = cos x
セカントはコサインで割った1である。このコサインの波がゼロと交わるどこでも、セカントは漸近線へ発散する。
セカント関数は以下のように定義される…
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セカントはコサインの逆数である：$\sec x = \dfrac{1}{\cos x}$。
正しいペアリングはどれか？
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コセカントは $1/\sin$ 、コタンジェントは $1/\tan = \cos/\sin$ — 正弦と正接の逆数である。
正しい逆数の恒等式をすべて選択せよ。
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セカントは $1/\cos$ であり、$\sin$ ではない。残りの3つは正しい逆数の定義である。
どこで発散するか
- 逆数は、元の関数がゼロの场合に定义されません——ゼロで割ることはできません。
- したがって、セカントは $\cos x = 0$ において 垂直アシンプトート を持ちます。
- コセカントは $\sin x = 0$ で発散し、コタンジェントも $\sin x = 0$ で発散します。
- アシンプトートの间には、各曲線が $\pm\infty$ に向かって上昇します。
セカントは $\cos x = 0$ の everywhere 垂直な ____ を持つ。ゼロで割れないからである。
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$\sec x = 1/\cos x$ 因此、ゼロのコサインはセカントを定義不能にし、垂直漸近線となる。
セカントの出力は常に $-1$ と $1$ の間に厳密には入らない。
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$|\cos x| \le 1$ 因此、その逆数 $|\sec x| \ge 1$ — セカントの絶対値は常に $1$ 以上である。
その形状
- $|\cos x| \le 1$ であるため、その逆数であるセカントは $|\sec x| \ge 1$ を満たします。
- よって、セカントは $-1$ と $1$ の间の帯状領域には进入せず、その外側に存在します。
- 各セカントの「U字型」は、コサインの山の上か谷の下に位置します。
- コセカントも同様の形ですが、コサインではなくサイヌに合わせてシフトされています。
なぜ有用なのか
- サイヌとコサインの分数よりも、セカントやコタンジェントを用いたほうが简洁になる公式があります。
- ピタゴラスの恒等式もセカントとコセカントの形で表されます。
- 微分学において、タンジェントの导関数は $\sec^2 x$ —— 逆数関数は自然に现れます。
- 6つの三角関数をすべて知っておけば、作业に最も适した简单なものを選べます。
逆数 $\sec x = \tfrac{1}{\cos x}$ と逆関数 $\cos^{-1} x = \arccos x$ を混同しないでください。名前は似ていますが、一方は「コサインの1倍」、もう一方は「このコサインを持つ角度」であり、全く别の関数です。
$\sec\tfrac{\pi}{3}$ を计算し、なぜ $\csc 0$ が定义されないかを说明してください。
- $\cos\tfrac{\pi}{3} = \tfrac12$ なので、$\sec\tfrac{\pi}{3} = \tfrac{1}{1/2} = 2$ 。
- $\csc 0 = \tfrac{1}{\sin 0} = \tfrac{1}{0}$ は定義されない。
- よって、$x = 0$ はコセカントの垂直アシンプトートとなります。
セカント、コセカント、コタンジェント はそれぞれ、コサイン、サイヌ、タンジェント の 逆数 です。各関数は基本関数がゼロとなる场所に 垂直アシンプトート を持ち、セカントおよびコセカントの出力値は strictly に $-1$ と $1$ の间には never 入りません。