| English | 意味 |
|---|---|
| sine/saɪn/ | 正弦 |
| inverse/ɪnˈvɜːs/ | 逆関数 |
| one-to-one/wʌn tuː wʌn/ | 一対一対応 |
| domain/dəˈmeɪn/ | 定義域 |
From a ratio back to an angle
- Sine turns an angle into a ratio; sometimes we need to run that backward.
- "Which angle has a sine of $0.5$?" is a question only an inverse can answer.
- Ramps, satellite dishes, and navigation all need the angle from a measured ratio.
- The inverse trig functions do exactly this reversal.
What the inverse does
- The inverse 反函数 of sine, written $\arcsin$ or $\sin^{-1}$, takes a value and returns an angle.
- $\arcsin(0.5) = 30°$, because $\sin 30° = 0.5$.
- Likewise $\arccos$ and $\arctan$ reverse cosine and tangent.
- Each undoes its trig function, recovering the angle that produced a value.
逆関数$\arcsin$（または$\sin^{-1}$）は値を取り、…を返す
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
逆は正弦を逆転させる：$\arcsin(0.5)$は正弦が$0.5$となる角度であり、具体的には$30°$である。
Why we must restrict
- Sine is not one-to-one 一一对应: countless angles share the same sine value.
- If we reversed all of them, the "inverse" would give many answers at once — not a function.
- So we restrict the domain to one rising piece, from $-\tfrac{\pi}{2}$ to $\tfrac{\pi}{2}$.
- On that restricted domain 定义域, each output comes from exactly one angle.
比率から角度へ戻す
逆三角関数は逆の質問に答える — 正弦や余弦の値が与えられたとき、どの角度がそれを生み出したか。
なぜ正弦を制限しないと逆関数が持てないのか？
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
多くの角度が同じ正弦を持つため、正弦は一対一ではない。定義域を制限することで、入力に対して単一の出力を固定する。
$\arcsin(1)$（ラジアン単位）はいくつか？
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$\sin\tfrac{\pi}{2} = 1$、したがって$\arcsin(1) = \tfrac{\pi}{2}$ — 制限された範囲内の角度。
逆三角関数に関するすべての真の文を選択せよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
逆関数は1つの角度（制限された範囲内）のみを返す。他すべてではない。他の3つは正しい。
The inverse graphs
- Because they are inverses, the graphs reflect the restricted trig graphs across $y = x$.
- $\arcsin$ has domain $[-1, 1]$ (all valid sine 正弦 values) and range $[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}]$.
- $\arccos$ has the same domain but range $[0, \pi]$.
- Their inputs are ratios; their outputs are angles.
逆三角関数のグラフは、制限された三角関数のグラフを $y = x$ について対称移動したものです。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
逆関数と同様、入力と出力を入れ替えることで、グラフは直線$y = x$について対称移動される。
Reading a value
- To find $\arccos(0)$, ask "which angle in $[0,\pi]$ has cosine $0$?" — the answer is $\tfrac{\pi}{2}$.
- The inverse returns the one angle inside the restricted range, called the principal value.
- Other angles may also work, but the inverse function reports just one.
- Add full turns or use symmetry if you need the rest.
The inverse gives only the principal angle, not every solution. $\arcsin(0.5) = 30°$, but $150°$ also has sine $0.5$. When solving an equation you must find all the angles yourself — the inverse hands you just one.
A ramp rises $3$ m over a slope length of $6$ m. What angle does it make?
- The sine of the angle is $\tfrac{\text{rise}}{\text{slope}} = \tfrac{3}{6} = 0.5$.
- So the angle is $\arcsin(0.5) = 30°$.
- The inverse turned the measured ratio back into the angle we wanted.
An inverse trig function returns an angle from a ratio: $\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$. Since trig functions are not one-to-one, we restrict their domain first. The inverse graphs reflect the restricted sine/cosine/tangent across $y = x$, and report just the principal angle.