| English | 意味 |
|---|---|
| sine/saɪn/ | 正弦 |
| cosine/ˈkəʊsaɪn/ | 余弦 |
| period/ˈpɪərɪəd/ | 周期 |
| amplitude/ˈæmplɪtjuːd/ | 振幅 |
| midline/ˈmɪdlaɪn/ | 中央線 |
Unrolling the circle into a wave
- Imagine the point spinning around the unit circle, and track just its height over time.
- Plot that height against the angle, and a smooth wave appears.
- That wave is the graph of sine — the circle unrolled.
- Cosine is the same idea, tracking the horizontal coordinate instead.
The sine graph
- The sine 正弦 graph $y = \sin x$ starts at $0$, rises to $1$, falls through $0$ to $-1$, then returns.
- One full cycle takes $2\pi$ before the pattern repeats.
- It swings a fixed distance above and below the horizontal axis.
- The result is the classic smooth, rolling wave.
sin波を追跡する
y = a・sin(b(x − c)) + d
これは基本のsin波である——振幅1、中央線 y = 0、周期 2π。繰り返しの様子を注視せよ。
基本のsinグラフ$y = \sin x$は（$x = 0$において）高さ…で始まる
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$\sin 0 = 0$であるため、正弦波は中央線から始まり、最大値 $1$ に達する。
The cosine graph
- The cosine 余弦 graph $y = \cos x$ has the exact same shape.
- But it starts at its peak $1$ (since $\cos 0 = 1$), a quarter-period ahead of sine.
- In fact, $\cos x = \sin\!\left(x + \tfrac{\pi}{2}\right)$ — cosine is sine shifted left.
- So learning one wave essentially gives you both.
親の余弦グラフ $y = \cos x$ は高さ…で（$x = 0$ で）始まる。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$\cos 0 = 1$ であるため、余弦関数は正弦関数より四分の一周期先で最大値から始まる。
$y = \sin x$ と $y = \cos x$ に関する 正しい 記述をすべて選択せよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
これらは振動しており、永遠に増加することはない。他の三つが正しい。
Amplitude, midline, and period
- The parent waves have amplitude 振幅 $1$: they rise $1$ above and dip $1$ below.
- Their midline 中线 is $y = 0$, the level they oscillate around.
- Their period 周期 is $2\pi$, the horizontal length of one cycle.
- Every other sine-shaped graph is one of these, stretched or shifted.
親の正弦と余弦のグラフはそれぞれ ____ ラジアン周期的である。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
波形が繰り返される前に $2\pi$ が経過し、これが親関数の周期である。
親の正弦と余弦のグラフは、振幅が $1$ 、中央線が $y = 0$ である。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$-1$ と $1$ の間で振動する：振幅 $1$ が 中央線 $y = 0$ より上または下にある。
Reading the wave
- To sketch a cycle, mark five key points: start, peak, middle, trough, end.
- For sine those heights are $0, 1, 0, -1, 0$ across one period.
- For cosine they are $1, 0, -1, 0, 1$.
- Join them with a smooth curve and repeat left and right forever.
Sine and cosine graphs never stop or level off — they oscillate forever between $-1$ and $1$. Do not draw them flattening toward an asymptote; unlike exponentials and logs, they simply keep waving.
Where does $y = \sin x$ first reach its maximum, and its minimum?
- Maximum $1$ occurs at $x = \tfrac{\pi}{2}$ (a quarter of the way through a cycle).
- Minimum $-1$ occurs at $x = \tfrac{3\pi}{2}$ (three-quarters through).
- Both repeat every $2\pi$ thereafter.
The sine and cosine graphs are the unit circle unrolled: smooth waves with amplitude $1$, midline $y = 0$, and period $2\pi$. They are identical in shape, offset by a quarter period, so $\cos x = \sin(x + \tfrac{\pi}{2})$.