| English | 意味 |
|---|---|
| sine/saɪn/ | 正弦 |
| cosine/ˈkəʊsaɪn/ | 余弦 |
| unit circle/ˈjuːnɪt ˈsɜːkl/ | 単位円 |
| radians/ˈreɪdɪənz/ | ラジアン |
| period/ˈpɪərɪəd/ | 周期 |
円で読み取れる値
- あらゆる角度にサインとコサインがある — しかし、これらの数字はどこから来るのか？
- それらは単位円上の座標に過ぎず、そのまま読み取ることができる。
- 「特殊」と呼ばれるいくつかの角度は、美しく記憶に残る値を与える。
- これらを覚えれば、円の対称性によって残りの値が自ずと得られる。
特殊角の値
- $\theta = 0$ において: 点は $(1, 0)$ であるため、 $\cos 0 = 1$ および $\sin 0 = 0$ である。
- $\theta = \tfrac{\pi}{2}$ ($90°$ ) において: 点は $(0, 1)$ であるため、 $\cos = 0$ および $\sin = 1$ である。
- 角度 $30°, 45°, 60°$ は $\tfrac12$ 、 $\tfrac{\sqrt2}{2}$ 、 $\tfrac{\sqrt3}{2}$ を用いた一般的な値を与える。
- サインまたはコサインを読み取ることは、ただ座標を読むことに他ならない。
任意の角度におけるsinとcosを読み取る
角度を移動させ、sin（高さ）とcos（横方向）の値が変化し繰り返される様子を見る。
$\sin 0$ は何か？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
角度$0$において、単位円上の点は$(1, 0)$であり、したがってy座標は$\sin 0 = 0$である。
$\cos 0$ は何か？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
角度が $0$ のとき、点は $(1, 0)$ にあり、したがって x 座標は $\cos 0 = 1$ である。
象限による符号
- 右上の象限では両方の座標が正であるため、サインとコサインは正である。
- 他の象限へ移動すると、一方または両方が負になる。
- 「All, Sine, Tangent, Cosine」(ASTC) は、象限ごとに正となるものを記録している。
- 単位円は、すべての符号を明確にする — 座標を見るだけでよい。
$\sin\theta$の出力は常に…の間に存在する
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
単位円上ではy座標が$[-1, 1]$から離れることがないため、$-1 \le \sin\theta \le 1$である。
sinとcosの値に関する正しい記述をすべて選択せよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
sinが$2$に達しないのは誤りであり、最大値は$1$に制限されている。残りの3つは正しい。
一周ごとに繰り返される
- 一度の完全な回転後、点はまさに最初の位置に到着する。
- よって、値は $2\pi$ ラジアン（または $360°$ ）ごとに繰り返される。
- この規則的な繰り返しが、サインとコサインの周期である。
- 角度に $2\pi$ の倍数を加えると、そのサインとコサインは変わらない。
sinとcosの値は____ラジアンごとに繰り返される（一周分）。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$2\pi$（または $360°$）で一周すると、点は出発点に戻り、値が繰り返される。
有界な出力
- 円の半径が $1$ であるため、いかなる座標も $1$ を超えたり、 $-1$ よりも小さくなったりしない。
- よって、サインとコサインは常に $-1 \le \text{value} \le 1$ を満たす。
- 最大値 $1$ と最小値 $-1$ は、円の上部/下部または左側/右側で生じる。
- この境界が、正弦波が一定の高さを持つ理由である。
サインとコサインが $2$ や $-5$ になり得ないのは、単位円によってその出力が $[-1, 1]$ に固定されているからである。計算結果が $\sin\theta = 1.4$ となった場合、どこかに誤りがある。
$\sin\tfrac{\pi}{2}$ 、 $\cos\pi$ 、 $\sin 3\pi$ を求めよ。
- $\sin\tfrac{\pi}{2}$ : 円の頂点 $(0,1)$ であるため、 $\sin = 1$ である。
- $\cos\pi$ : 左側の点 $(-1, 0)$ であるため、 $\cos = -1$ である。
- $\sin 3\pi = \sin(\pi + 2\pi) = \sin\pi = 0$ — 追加の $2\pi$ は何も変化させない。
サインとコサインの値は単位円上の座標である。特殊角は美しい値を与え、象限が符号を決定する。値は $2\pi$ ラジアン（周期）ごとに繰り返され、どちらも常に $[-1, 1]$ 内に留まる。