| English | 意味 |
|---|---|
| exponential equation/ˌekspəˈnenʃl ɪˈkweɪʒn/ | 指数方程式 |
| logarithmic equation/ˌlɒɡəˈrɪθmɪk ɪˈkweɪʒn/ | 対数方程式 |
| extraneous/ekˈstreɪnɪəs/ | 増根 |
隠れた指数を見つける
- 「$2$ を何乗すれば $5$ になるか？」という式は、未知数が指数にある方程式です。
- ただ割るだけでは解けません。変数はべき式の内部に閉じ込められているからです。
- 対数がその解放に役立ち、指数形式は対数方程式の解法に役立ちます。
- この2つの操作の間には、ほぼすべての指数方程式や対数方程式を解くことができます。
指数方程式の解法
- 指数方程式とは、変数が指数にある方程式（例：$2^x = 8$）のことです。
- 両辺で共通の底を作れる場合は、底を揃えます。$2^x = 2^3$ は $x = 3$ を与えます。
- 底が一致しない場合は、両辺に対数をとります。
- べきの法則により指数を下に降ろし、変数を解くことができます。
指数関数が目標値に達する点を見つける
y = 2ˣ
2ˣ = 5 を解くことは、この曲線が高さ 5 で交差する x の値を求めることです。対数を用いることでその x を正確に得られます。
底を一致させて $2^x = 8$ を解きます。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$8 = 2^3$ であるため、$2^x = 2^3$ より $x = 3$ が導かれます — 底が等しいなら指数も等しいです。
底が一致しない $2^x = 5$ を解く場合、次にすべきことは…
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$\log$ の両辺に対数をとると、指数を下ろすことができます：$x = \log_2 5 \approx 2.32$ 。
対数方程式の解法
- 対数方程式とは、変数が対数の内部にある方程式（例：$\log_2 x = 4$）のことです。
- 指数形式に書き換えます。$\log_2 x = 4$ は $x = 2^4 = 16$ を意味します。
- 複数の対数がある場合は、先に1つにまとめ、その後変換します。
- 指数形式は、単一対数方程式を解くための万能鍵です。
対数方程式 $\log_2 x = 4$ を解きます。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
指数形式に変換する：$x = 2^4 = 16$ 。
外れ値の確認
- 解く過程で、元の方程式の定義域を満たさない候補が生じることがあります。
- 対数の引数は正である必要があるため、$\log(\text{negative})$ を与える解は却下されます。
- このような誤った答えを外れ値と呼びます。
- 必ず元に戻して代入し、すべての引数が正であることを確認してください。
対数の引数を負にする候補となる解は、____ として却下する必要があります。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
不要解 は変形後の方程式は満たしますが、元の定義域を破ります — 常に確認してください。
これらの方程式を解くことに関する真の文をすべて選択してください。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
一部の候補解は不要解であり却下する必要があります。他の3つは適切な戦略です。
不等式
- 指数関数と対数関数は単調であり、常に増加するか減少するかのいずれかです。
- そのため、$2^x > 8$ のような不等式も同じように解き、方向性を保ちます。$x > 3$ 。
- 減少する底（$0 < b < 1$ ）の場合、不等号の向きが反転します。
- まず方程式として解き、境界線のどちら側が条件を満たすかを判断します。
対数方程式の答えを確認することを決して忘れないでください。$\log(x) + \log(x-3) = 1$ を解くと $x = 5$ および $x = -2$ が得られるかもしれませんが、$x = -2$ は $\log(-2)$ を不定にするため、外れ値であり破棄する必要があります。
$2^x = 5$ を解け。
- 底が一致しないので、両辺に$\log_2$ を取ります。
- $\log_2(2^x) = \log_2 5$ で、左辺は $x$ に簡略化されます。
- つまり $x = \log_2 5 \approx 2.32$ —— 対数が明らかにした指数です。
指数方程式は、底を揃えるか、対数を取って指数を下げることで解きます。対数方程式は、指数形式に書き換えることで解きます。外れ値がないか常に確認してください。対数の引数は正でなければなりません。