| English | 意味 |
|---|---|
| quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/ | 商の法則 |
| product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/ | 積の法則 |
| power rule/ˈpaʊə ruːl/ | 累乗の法則 |
| change-of-base/tʃeɪndʒ ɒv beɪs/ | 底変換 |
| equivalent/ɪˈkwɪvələnt/ | 同値 |
積を和に変える
- 電卓以前の人々は、巨大な数値を掛け算するために、それらの対数を足すことで計算していた。
- この魔法は、対数が掛け算を加算に変換するため機能する。
- 3つの簡単な法則により、任意の対数式を展開、圧縮、または底を変更できる。
- これらは単に、対数の鏡を通して見た指数の法則である。
積の微分法と商の微分法
- 積の法則は積を分割する：$\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$。
- 商の法則は、商を分解します：$\log_b\!\left(\tfrac{x}{y}\right) = \log_b x - \log_b y$。
- 内部の乗算は外部での加算に、除算は減算に変換されます。
- これらは「指数の乗算→指数の加算」および「除算→減算」と対応しています。
法則の背景にある対数
y = a・log(x − b) + c
これらの法則は指数の法則を逆にしたものです。それらが記述する対数の曲線を探索してください。
対数の 積の法則 は $\log_b(xy) =$ を示します
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
积の対数は対数の 和 であり、「指数の乗算は加算される」という操作の鏡像です。
商の法則は $\log_b\!\left(\dfrac{x}{y}\right) = \log_b x - \log_b y$ を示します。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
商の対数は対数の 差 であり、「指数の除算は減算される」という操作の鏡像です。
べきの法則
- べきの法則は、指数を外側へ持ち出します：$\log_b(x^n) = n\log_b x$。
- よって $\log_2(8^3) = 3\log_2 8 = 3 \cdot 3 = 9$。
- 対数の中に隠れているべき関数は、単純な乗数となります。
- これら3つの法則を組み合わせることで、対数式を完全に展開または圧縮できます。
対数の べき乗の法則 は $\log_b(x^n) =$ を示します
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
対数内のべき乗は係数として前に出ます：$\log_b(x^n) = n\log_b x$ 。
底の変換
- カルシユレーターには$\log$（底10）と$\ln$（底$e$）のボタンしかありません。
- 底の変換公式はそれ以外の底に対応します：$\log_b x = \dfrac{\log x}{\log b}$。
- よって $\log_2 7 = \dfrac{\log 7}{\log 2} \approx 2.807$。
- 利用可能なツールに対応する任意の底を選び、除算を行います。
____ 公式により、$\log_2 7$ を计算器で $\dfrac{\log 7}{\log 2}$ と計算できます。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
底の変更 公式 $\log_b x = \dfrac{\log x}{\log b}$ は、任意の便利な底で利用可能です。
展開と圧縮
- 展開とは、左から右へ法則を用いて、一つの対数を複数の対数に分解することです。
- 圧縮とは、右から左へ法則を用いて、複数の対数を一つの対数に統合することです。
- 二つの式が互いに等価であるとは、法則によって一方から他方へ変形できることを指します。
- 問題に最適な形式を選択してください。通常、方程式を解く際は一つの対数形式を求めます。
正しい対数の法則をすべて選択してください。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$\log(x+y)$ には 規則 がありません — 法則は積、商、べき乗に適用され、和には適用されません。他の3つは正しいです。
和の対数には規則がありません：$\log(x + y)$ は $\log x + \log y$ と 等しくありません。法則は対数の内部にある積、商、べきに対してのみ適用されます。和を分割することは、最も一般的な対数の誤りの一つです。
$2\log x + \log y - \log z$ を一つの対数に圧縮してください。
- べきの法則：$2\log x = \log x^2$。
- 積の商：$\log x^2 + \log y - \log z = \log\!\left(\dfrac{x^2 y}{z}\right)$。
- 解くか評価する準備が整った、単一の整理された対数式。
対数の法則は指数の規則と対応しています：積の法則は和に、商の法則は差に、べきの法則は乗数に変換されます。底の変換公式を用いることで、任意の底を電卓で計算でき、これらの法則により2つの形が等価であることがわかりますが、$\log(x+y)$を分割してはいけません。