| English | 意味 |
|---|---|
| logarithmic function/ˌlɒɡəˈrɪθmɪk ˈfʌŋkʃn/ | 対数関数 |
| base/beɪs/ | 底数 |
| domain/dəˈmeɪn/ | 定義域 |
| vertical asymptote/ˈvɜːtɪkl ˈæsɪmptəʊt/ | 垂直漸近線 |
| end behavior/end bɪˈheɪvjə/ | 末端挙動 |
緩やかに上昇する曲線
- 指数関数は急激に上昇しますが、その鏡像である対数関数はそれとは正反対の挙動を示します。
- 対数関数は永遠に上昇し続けますが、その勢いは次第に弱まり、最終的に水平になって止まることはありません。
- 左側ではy軸に引き寄せられ、右側ではゆっくりと上昇していきます。
- この穏やかな形状は、音の大きさ、酸性度、および大きな数の「感覚」をモデル化するために用いられます。
対数関数のグラフ
- 対数関数は $f(x) = \log_b x$ の逆関数であり、 $b^x$ です。
- そのグラフは $(1, 0)$ を通ります。なぜなら、どの底であっても $\log_b 1 = 0$ だからです。
- $1$ より右側では正の値を取り、$0$ と $1$ の間では負の値を取ります。
- 形状は、指数関数の $y = x$ に関する線対称として読み取ることができます。
対数曲線の形状を形成する
y = a・log(x − b) + c
この対数曲線はゆっくり上昇し、y軸に沿って伸びていく。x が垂直漸近線より大きい場合にのみ存在する。
定義域と垂直漸近線
- 定義域は $x > 0$ です。ゼロや負の数に対して対数を求めることはできません。
- $x \to 0^+$ に近づくと、出力は $-\infty$ へと極限的に低下します。これが $x = 0$ における垂直漸近線です。
- グラフはy軸に触れることはなく、より密に抱き着いていきます。
- 一方、その値域はすべての実数です。
$f(x) = \log_b x$ の定義域は…
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
対数関数の定義域は正の数のみであるため、定義域は $x > 0$ です。
対数関数は $x = 0$ において ____ 漸近線を持ちます。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$x \to 0^+$ に近づくとき出力は $-\infty$ まで急降下するため、$x = 0$ は 垂直な漸近線 です。
$y = \log_b x$ のグラフが x 軸と交わる点は…
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$b^0 = 1$ であるため、$\log_b 1 = 0$ が成り立ちます：x切片は常に $x = 1$ にあります。
$y = \log_b x$ （$b > 1$ を持つ）に関するすべての正しい文を選択してください。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
無限大まで上昇するため最大値はありません。他の3つは正しいです。
底による方向性
- 底が $b > 1$ の場合、対数関数は単調増加（緩やかに上昇）します。
- $0 < b < 1$ の場合、代わりに減少する。
- 底が大きいほど、曲線はさらに緩やかに上昇する。
- 底にかかわらず、曲線は常に $(1, 0)$ を通り、同じ漸近線を持つ。
対数関数は永遠に増加し続けますが、その増加率は次第に緩やかになります。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
$x \to \infty$ に対して無限大まで上昇しますが、傾きは平坦になり、指数関数的な加速とは逆の挙動を示します。
終端挙動：無限大だが遅い
- $x \to \infty$ において、終端挙動 は $\log_b x \to \infty$ であり、決して水平に落ち着かない。
- しかし増加が非常に遅いため、$y = 10$ に到達するには莫大な $x$ が必要である。
- 指数関数の爆発的な増加と比較して、対数関数はほとんど動かない。
- そのため、対数関数は大きな数値の範囲を圧縮するために用いられる。
対数関数の緩やかな増加は「天井がある」こととは異なる。それは永遠に上昇し続け、水平な漸近線も最大値もない。単に、各単位分上昇するごとに要する時間が長くなっているだけである。
いくつかの点における $y = \log_2 x$ を記述せよ。
- $\log_2 1 = 0$ （x切片）、$\log_2 2 = 1$、$\log_2 4 = 2$、$\log_2 8 = 3$。
- 出力に $+1$ を得るために、入力は倍される必要があり、成長は鈍化している。
- $x = 0$ 付近で、曲線は垂直な漸近線 $-\infty$ に向かって下がる。
対数関数 $\log_b x$ は 定義域 $x > 0$、垂直な漸近線 $x = 0$ を持ち、$(1, 0)$ を通る。底が増加か減少かを決定し、その終端挙動は無限大だが次第に遅くなる増加であり、指数関数の鏡像である。