| English | 意味 |
|---|---|
| inverse/ɪnˈvɜːs/ | 逆関数 |
| logarithmic function/ˌlɒɡəˈrɪθmɪk ˈfʌŋkʃn/ | 対数関数 |
| domain/dəˈmeɪn/ | 定義域 |
| vertical asymptote/ˈvɜːtɪkl ˈæsɪmptəʊt/ | 垂直漸近線 |
The exponential's mirror twin
- Every exponential function has a partner that runs it backward.
- Where $2^x$ turns an exponent into a value, its partner turns a value back into the exponent.
- That partner is the logarithm — and geometrically it is a perfect mirror image.
- Understanding the pair together makes both far easier.
Log is the inverse of exponential
- The logarithmic function 对数函数 $\log_b x$ is the inverse 反函数 of the exponential $b^x$.
- They share the same base and undo each other's work.
- $b^x$ takes an exponent to a value; $\log_b x$ takes the value back to the exponent.
- So logs and exponentials are two views of one relationship.
対数関数 $\log_b x$ は、指数関数 $b^x$ の ____ である。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
互いの操作を取り消し合うため、対数関数は同じ底を持つ指数関数の逆関数である。
Reflection across y = x
- Because they are inverses, their graphs are reflections across the line $y = x$.
- The soaring exponential becomes a slowly-rising logarithm, and vice versa.
- Every point $(a, b)$ on $b^x$ corresponds to $(b, a)$ on $\log_b x$.
- Seeing one graph, you can sketch the other by flipping across $y = x$.
対数の鏡像となる指数曲線
y = 2ˣ
この曲線 y = 2ˣ を直線 y = x について反射する。その鏡像が y = log₂ x のグラフである。
Swapped domain, range, and asymptote
- Inverses swap domain and range. The exponential's range $y > 0$ becomes the log's domain 定义域 $x > 0$.
- The exponential's horizontal asymptote $y = 0$ becomes the log's vertical asymptote 竖直渐近线 $x = 0$.
- The log's range is all real numbers — it can be any exponent.
- So the log function exists only for positive inputs, hugging the y-axis on the left.
指数関数には水平漸近線があるが、その逆関数である対数関数には代わりに ____ 漸近線がある。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
直線 $y=x$ について反射することで、水平漸近線 $y=0$ が 垂直漸近線 $x=0$ に変換される。
$\log_b x$ の定義域は $x > 0$ であり、これは指数関数の値域であった。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
逆関数は定義域と値域を入れ替える：指数関数の値域（$y>0$ ）が対数関数の 定義域（$x>0$ ）となる。
指数関数とその逆関数に関するすべての真の記述を選択せよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
両者は同じ関数ではなく逆関数関係にある。他の3つは関係性を正しく説明している。
They undo each other
- Composing a function with its inverse cancels: $\log_b(b^x) = x$ and $b^{\log_b x} = x$.
- So $\log_2(2^7) = 7$ and $10^{\log_{10} 5} = 5$.
- This cancelling is exactly how logs solve equations with the variable in the exponent.
- Apply the log to both sides, and the exponent comes down where you can reach it.
$\log_2\!\left(2^5\right)$ は何か？
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
対数が指数の操作を取り消す：$\log_2(2^5) = 5$ 。逆関数は互いに相殺される。
The exponential accepts any real input but only outputs positives; the log is the mirror — it only accepts positive inputs but outputs any real. Do not give a logarithm a zero or negative argument, and do not expect an exponential to ever output one.
Use the inverse relationship to solve $10^x = 1000$.
- Take $\log_{10}$ of both sides: $\log_{10}(10^x) = \log_{10} 1000$.
- The left side cancels to $x$; the right side is $3$ (since $10^3 = 1000$).
- So $x = 3$ — the logarithm undid the exponential.
The logarithmic function is the inverse of the exponential with the same base: their graphs reflect across $y = x$. Domain and range swap, so the log has domain $x > 0$ and a vertical asymptote at $x = 0$. They undo each other, which is how logs solve exponential equations.